Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24866 / 27109
↖ ↑ ↗
← N 29.664190°
W 43.406982°		 ← 530.74 m → N 29.664190°
W 43.401489°		 →
↑
530.83 m
↓
↑
530.83 m
↓
N 29.659416°
W 43.406982°		 ← 530.76 m →
281 740 m²		 N 29.659416°
W 43.401489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379432678222656 y=0.413658142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379432678222656 × 216)
    floor (0.379432678222656 × 65536)
    floor (24866.5)     		tx = 24866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413658142089844 × 216)
    floor (0.413658142089844 × 65536)
    floor (27109.5)     		ty = 27109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24866 / 27109 ti = "16/24866/27109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24866/27109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24866 ÷ 216
    24866 ÷ 65536     		x = 0.379425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27109 ÷ 216
    27109 ÷ 65536     		y = 0.413650512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.24114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75759476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413650512695312 × 2 - 1) × π
    0.172698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.542549829899795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75759476} λ = -0.75759476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.542549829899795))-π/2
    2×atan(1.72038797095769)-π/2
    2×1.04426705090557-π/2
    2.08853410181113-1.57079632675     		φ = 0.51773778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75759476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.406982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51773778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.664190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24866 KachelY 27109 -0.75759476 0.51773778 -43.406982 29.664190
    Oben rechts KachelX + 1 24867 KachelY 27109 -0.75749889 0.51773778 -43.401489 29.664190
    Unten links KachelX 24866 KachelY + 1 27110 -0.75759476 0.51765446 -43.406982 29.659416
    Unten rechts KachelX + 1 24867 KachelY + 1 27110 -0.75749889 0.51765446 -43.401489 29.659416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51773778-0.51765446) × R
    8.33199999999978e-05 × 6371000     		dl = 530.831719999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51773778-0.51765446) × R
    8.33199999999978e-05 × 6371000     		dr = 530.831719999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75759476--0.75749889) × cos(0.51773778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868941010312499 × 6371000     		do = 530.738541950307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75759476--0.75749889) × cos(0.51765446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868982243669901 × 6371000     		du = 530.763726780723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51773778)-sin(0.51765446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868941010312499-0.868982243669901)×R²
    abs(-0.75749889--0.75759476)×4.12333574013601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12333574013601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12333574013601e-05×40589641000000     		ar = 281739.537710337m²