Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24862 / 41631
↖ ↑ ↗
← S 43.703623°
W 43.428955°		 ← 441.60 m → S 43.703623°
W 43.423462°		 →
↑
441.51 m
↓
↑
441.51 m
↓
S 43.707593°
W 43.428955°		 ← 441.57 m →
194 964 m²		 S 43.707593°
W 43.423462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379371643066406 y=0.635246276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379371643066406 × 216)
    floor (0.379371643066406 × 65536)
    floor (24862.5)     		tx = 24862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635246276855469 × 216)
    floor (0.635246276855469 × 65536)
    floor (41631.5)     		ty = 41631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24862 / 41631 ti = "16/24862/41631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24862/41631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24862 ÷ 216
    24862 ÷ 65536     		x = 0.379364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41631 ÷ 216
    41631 ÷ 65536     		y = 0.635238647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.24127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75797826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635238647460938 × 2 - 1) × π
    -0.270477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849729482665115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75797826} λ = -0.75797826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849729482665115))-π/2
    2×atan(0.427530570737451)-π/2
    2×0.404012109583439-π/2
    0.808024219166878-1.57079632675     		φ = -0.76277211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75797826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76277211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.703623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24862 KachelY 41631 -0.75797826 -0.76277211 -43.428955 -43.703623
    Oben rechts KachelX + 1 24863 KachelY 41631 -0.75788238 -0.76277211 -43.423462 -43.703623
    Unten links KachelX 24862 KachelY + 1 41632 -0.75797826 -0.76284141 -43.428955 -43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 24863 KachelY + 1 41632 -0.75788238 -0.76284141 -43.423462 -43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76277211--0.76284141) × R
    6.93000000000499e-05 × 6371000     		dl = 441.510300000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76277211--0.76284141) × R
    6.93000000000499e-05 × 6371000     		dr = 441.510300000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75797826--0.75788238) × cos(-0.76277211) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.722923462126269 × 6371000     		do = 441.598866766777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75797826--0.75788238) × cos(-0.76284141) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 441.569617331984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76277211)-sin(-0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722923462126269-0.72287557907163)×R²
    abs(-0.75788238--0.75797826)×4.78830546392084e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78830546392084e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78830546392084e-05×40589641000000     		ar = 194963.991260626m²