Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24861 / 41629
↖ ↑ ↗
← S 43.695680°
W 43.434448°		 ← 441.61 m → S 43.695680°
W 43.428955°		 →
↑
441.64 m
↓
↑
441.64 m
↓
S 43.699651°
W 43.434448°		 ← 441.58 m →
195 026 m²		 S 43.699651°
W 43.428955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379356384277344 y=0.635215759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379356384277344 × 216)
    floor (0.379356384277344 × 65536)
    floor (24861.5)     		tx = 24861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635215759277344 × 216)
    floor (0.635215759277344 × 65536)
    floor (41629.5)     		ty = 41629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24861 / 41629 ti = "16/24861/41629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24861/41629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24861 ÷ 216
    24861 ÷ 65536     		x = 0.379348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41629 ÷ 216
    41629 ÷ 65536     		y = 0.635208129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.241302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75807413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635208129882812 × 2 - 1) × π
    -0.270416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.849537735066635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75807413} λ = -0.75807413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849537735066635))-π/2
    2×atan(0.427612556557707)-π/2
    2×0.404081423593639-π/2
    0.808162847187277-1.57079632675     		φ = -0.76263348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75807413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76263348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.695680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24861 KachelY 41629 -0.75807413 -0.76263348 -43.434448 -43.695680
    Oben rechts KachelX + 1 24862 KachelY 41629 -0.75797826 -0.76263348 -43.428955 -43.695680
    Unten links KachelX 24861 KachelY + 1 41630 -0.75807413 -0.76270280 -43.434448 -43.699651
    Unten rechts KachelX + 1 24862 KachelY + 1 41630 -0.75797826 -0.76270280 -43.428955 -43.699651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76263348--0.76270280) × R
    6.93200000000394e-05 × 6371000     		dl = 441.637720000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76263348--0.76270280) × R
    6.93200000000394e-05 × 6371000     		dr = 441.637720000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75807413--0.75797826) × cos(-0.76263348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723019238544657 × 6371000     		do = 441.611308377779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75807413--0.75797826) × cos(-0.76270280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722971348617856 × 6371000     		du = 441.582057796183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76263348)-sin(-0.76270280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723019238544657-0.722971348617856)×R²
    abs(-0.75797826--0.75807413)×4.7889926800937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7889926800937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7889926800937e-05×40589641000000     		ar = 195025.752356049m²