Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2486 / 2587
↖ ↑ ↗
← S 42.747012°
E 38.496094°		 ← 7 176.87 m → S 42.747012°
E 38.583985°		 →
↑
7 173.11 m
↓
↑
7 173.11 m
↓
S 42.811522°
E 38.496094°		 ← 7 169.40 m →
51 453 672 m²		 S 42.811522°
E 38.583985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6070556640625 y=0.6317138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6070556640625 × 212)
    floor (0.6070556640625 × 4096)
    floor (2486.5)     		tx = 2486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6317138671875 × 212)
    floor (0.6317138671875 × 4096)
    floor (2587.5)     		ty = 2587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2486 / 2587 ti = "12/2486/2587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2486/2587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2486 ÷ 212
    2486 ÷ 4096     		x = 0.60693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2587 ÷ 212
    2587 ÷ 4096     		y = 0.631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60693359375 × 2 - 1) × π
    0.2138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67188359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67188359} λ = 0.67188359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826815644646729))-π/2
    2×atan(0.437440035345076)-π/2
    2×0.412360109500076-π/2
    0.824720219000152-1.57079632675     		φ = -0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67188359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2486 KachelY 2587 0.67188359 -0.74607611 38.496094 -42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 2487 KachelY 2587 0.67341757 -0.74607611 38.583985 -42.747012
    Unten links KachelX 2486 KachelY + 1 2588 0.67188359 -0.74720201 38.496094 -42.811522
    Unten rechts KachelX + 1 2487 KachelY + 1 2588 0.67341757 -0.74720201 38.583985 -42.811522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74607611--0.74720201) × R
    0.00112590000000001 × 6371000     		dl = 7173.10890000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74607611--0.74720201) × R
    0.00112590000000001 × 6371000     		dr = 7173.10890000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67188359-0.67341757) × cos(-0.74607611) × R
    0.00153398000000005 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 7176.86994712674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67188359-0.67341757) × cos(-0.74720201) × R
    0.00153398000000005 × 0.733593220717427 × 6371000     		du = 7169.39670125061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74607611)-sin(-0.74720201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.733593220717427)×R²
    abs(0.67341757-0.67188359)×0.000764683939239785×R²
    0.00153398000000005×0.000764683939239785×6371000²
    0.00153398000000005×0.000764683939239785×40589641000000     		ar = 51453671.9240683m²