Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24857 / 40317
↖ ↑ ↗
← S 38.259750°
W 43.456421°		 ← 479.65 m → S 38.259750°
W 43.450928°		 →
↑
479.61 m
↓
↑
479.61 m
↓
S 38.264063°
W 43.456421°		 ← 479.62 m →
230 036 m²		 S 38.264063°
W 43.450928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379295349121094 y=0.615196228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379295349121094 × 216)
    floor (0.379295349121094 × 65536)
    floor (24857.5)     		tx = 24857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615196228027344 × 216)
    floor (0.615196228027344 × 65536)
    floor (40317.5)     		ty = 40317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24857 / 40317 ti = "16/24857/40317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24857/40317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24857 ÷ 216
    24857 ÷ 65536     		x = 0.379287719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40317 ÷ 216
    40317 ÷ 65536     		y = 0.615188598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379287719726562 × 2 - 1) × π
    -0.241424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75845763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615188598632812 × 2 - 1) × π
    -0.230377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.723751310463608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75845763} λ = -0.75845763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723751310463608))-π/2
    2×atan(0.484929717719669)-π/2
    2×0.451518860902504-π/2
    0.903037721805008-1.57079632675     		φ = -0.66775860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75845763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.456421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66775860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.259750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24857 KachelY 40317 -0.75845763 -0.66775860 -43.456421 -38.259750
    Oben rechts KachelX + 1 24858 KachelY 40317 -0.75836175 -0.66775860 -43.450928 -38.259750
    Unten links KachelX 24857 KachelY + 1 40318 -0.75845763 -0.66783388 -43.456421 -38.264063
    Unten rechts KachelX + 1 24858 KachelY + 1 40318 -0.75836175 -0.66783388 -43.450928 -38.264063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66775860--0.66783388) × R
    7.52800000000109e-05 × 6371000     		dl = 479.608880000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66775860--0.66783388) × R
    7.52800000000109e-05 × 6371000     		dr = 479.608880000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75845763--0.75836175) × cos(-0.66775860) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785211573796953 × 6371000     		do = 479.647651967239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75845763--0.75836175) × cos(-0.66783388) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785164956120543 × 6371000     		du = 479.61917549061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66775860)-sin(-0.66783388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785211573796953-0.785164956120543)×R²
    abs(-0.75836175--0.75845763)×4.66176764097881e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.66176764097881e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.66176764097881e-05×40589641000000     		ar = 230036.444477998m²