Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24856 / 40316
↖ ↑ ↗
← S 38.255436°
W 43.461914°		 ← 479.63 m → S 38.255436°
W 43.456421°		 →
↑
479.61 m
↓
↑
479.61 m
↓
S 38.259750°
W 43.461914°		 ← 479.60 m →
230 026 m²		 S 38.259750°
W 43.456421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379280090332031 y=0.615180969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379280090332031 × 216)
    floor (0.379280090332031 × 65536)
    floor (24856.5)     		tx = 24856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615180969238281 × 216)
    floor (0.615180969238281 × 65536)
    floor (40316.5)     		ty = 40316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24856 / 40316 ti = "16/24856/40316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24856/40316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24856 ÷ 216
    24856 ÷ 65536     		x = 0.3792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40316 ÷ 216
    40316 ÷ 65536     		y = 0.61517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75855350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.2303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.723655436664368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75855350} λ = -0.75855350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723655436664368))-π/2
    2×atan(0.484976212002828)-π/2
    2×0.451556502628054-π/2
    0.903113005256108-1.57079632675     		φ = -0.66768332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75855350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66768332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.255436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24856 KachelY 40316 -0.75855350 -0.66768332 -43.461914 -38.255436
    Oben rechts KachelX + 1 24857 KachelY 40316 -0.75845763 -0.66768332 -43.456421 -38.255436
    Unten links KachelX 24856 KachelY + 1 40317 -0.75855350 -0.66775860 -43.461914 -38.259750
    Unten rechts KachelX + 1 24857 KachelY + 1 40317 -0.75845763 -0.66775860 -43.456421 -38.259750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66768332--0.66775860) × R
    7.52800000000109e-05 × 6371000     		dl = 479.608880000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66768332--0.66775860) × R
    7.52800000000109e-05 × 6371000     		dr = 479.608880000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75855350--0.75845763) × cos(-0.66768332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.785258187023507 × 6371000     		do = 479.62609692632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75855350--0.75845763) × cos(-0.66775860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.785211573796953 × 6371000     		du = 479.597626137621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66768332)-sin(-0.66775860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785258187023507-0.785211573796953)×R²
    abs(-0.75845763--0.75855350)×4.6613226554082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6613226554082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6613226554082e-05×40589641000000     		ar = 230026.107852774m²