Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24855 / 41672
↖ ↑ ↗
← S 43.866218°
W 43.467407°		 ← 440.35 m → S 43.866218°
W 43.461914°		 →
↑
440.36 m
↓
↑
440.36 m
↓
S 43.870178°
W 43.467407°		 ← 440.32 m →
193 909 m²		 S 43.870178°
W 43.461914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379264831542969 y=0.635871887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379264831542969 × 216)
    floor (0.379264831542969 × 65536)
    floor (24855.5)     		tx = 24855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635871887207031 × 216)
    floor (0.635871887207031 × 65536)
    floor (41672.5)     		ty = 41672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24855 / 41672 ti = "16/24855/41672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24855/41672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24855 ÷ 216
    24855 ÷ 65536     		x = 0.379257202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41672 ÷ 216
    41672 ÷ 65536     		y = 0.6358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379257202148438 × 2 - 1) × π
    -0.241485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75864937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85366030843396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75864937} λ = -0.75864937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85366030843396))-π/2
    2×atan(0.42585332120053)-π/2
    2×0.402593196100227-π/2
    0.805186392200455-1.57079632675     		φ = -0.76560993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75864937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.467407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76560993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.866218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24855 KachelY 41672 -0.75864937 -0.76560993 -43.467407 -43.866218
    Oben rechts KachelX + 1 24856 KachelY 41672 -0.75855350 -0.76560993 -43.461914 -43.866218
    Unten links KachelX 24855 KachelY + 1 41673 -0.75864937 -0.76567905 -43.467407 -43.870178
    Unten rechts KachelX + 1 24856 KachelY + 1 41673 -0.75855350 -0.76567905 -43.461914 -43.870178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76560993--0.76567905) × R
    6.91200000000336e-05 × 6371000     		dl = 440.363520000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76560993--0.76567905) × R
    6.91200000000336e-05 × 6371000     		dr = 440.363520000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75864937--0.75855350) × cos(-0.76560993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		do = 440.353443275908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75864937--0.75855350) × cos(-0.76567905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720911923905965 × 6371000     		du = 440.324186368925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76560993)-sin(-0.76567905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72095982418888-0.720911923905965)×R²
    abs(-0.75855350--0.75864937)×4.79002829147923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79002829147923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79002829147923e-05×40589641000000     		ar = 193909.150565084m²