Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24852 / 41620
↖ ↑ ↗
← S 43.659924°
W 43.483886°		 ← 441.87 m → S 43.659924°
W 43.478393°		 →
↑
441.83 m
↓
↑
441.83 m
↓
S 43.663898°
W 43.483886°		 ← 441.85 m →
195 226 m²		 S 43.663898°
W 43.478393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379219055175781 y=0.635078430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379219055175781 × 216)
    floor (0.379219055175781 × 65536)
    floor (24852.5)     		tx = 24852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635078430175781 × 216)
    floor (0.635078430175781 × 65536)
    floor (41620.5)     		ty = 41620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24852 / 41620 ti = "16/24852/41620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24852/41620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24852 ÷ 216
    24852 ÷ 65536     		x = 0.37921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41620 ÷ 216
    41620 ÷ 65536     		y = 0.63507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75893699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848674870873474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75893699} λ = -0.75893699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848674870873474))-π/2
    2×atan(0.427981687353277)-π/2
    2×0.404393450268318-π/2
    0.808786900536636-1.57079632675     		φ = -0.76200943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75893699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.483886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76200943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.659924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24852 KachelY 41620 -0.75893699 -0.76200943 -43.483886 -43.659924
    Oben rechts KachelX + 1 24853 KachelY 41620 -0.75884112 -0.76200943 -43.478393 -43.659924
    Unten links KachelX 24852 KachelY + 1 41621 -0.75893699 -0.76207878 -43.483886 -43.663898
    Unten rechts KachelX + 1 24853 KachelY + 1 41621 -0.75884112 -0.76207878 -43.478393 -43.663898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76200943--0.76207878) × R
    6.9349999999968e-05 × 6371000     		dl = 441.828849999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76200943--0.76207878) × R
    6.9349999999968e-05 × 6371000     		dr = 441.828849999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75893699--0.75884112) × cos(-0.76200943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		do = 441.874539787173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75893699--0.75884112) × cos(-0.76207878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723402329524788 × 6371000     		du = 441.845295663241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76200943)-sin(-0.76207878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723450208878909-0.723402329524788)×R²
    abs(-0.75884112--0.75893699)×4.78793541204281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78793541204281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78793541204281e-05×40589641000000     		ar = 195226.459387942m²