Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24851 / 41680
↖ ↑ ↗
← S 43.897893°
W 43.489380°		 ← 440.17 m → S 43.897893°
W 43.483886°		 →
↑
440.11 m
↓
↑
440.11 m
↓
S 43.901851°
W 43.489380°		 ← 440.14 m →
193 714 m²		 S 43.901851°
W 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379203796386719 y=0.635993957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379203796386719 × 216)
    floor (0.379203796386719 × 65536)
    floor (24851.5)     		tx = 24851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635993957519531 × 216)
    floor (0.635993957519531 × 65536)
    floor (41680.5)     		ty = 41680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24851 / 41680 ti = "16/24851/41680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24851/41680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24851 ÷ 216
    24851 ÷ 65536     		x = 0.379196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41680 ÷ 216
    41680 ÷ 65536     		y = 0.635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.27197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854427298827881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75903287} λ = -0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854427298827881))-π/2
    2×atan(0.425526821021206)-π/2
    2×0.402316784949438-π/2
    0.804633569898876-1.57079632675     		φ = -0.76616276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76616276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.897893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24851 KachelY 41680 -0.75903287 -0.76616276 -43.489380 -43.897893
    Oben rechts KachelX + 1 24852 KachelY 41680 -0.75893699 -0.76616276 -43.483886 -43.897893
    Unten links KachelX 24851 KachelY + 1 41681 -0.75903287 -0.76623184 -43.489380 -43.901851
    Unten rechts KachelX + 1 24852 KachelY + 1 41681 -0.75893699 -0.76623184 -43.483886 -43.901851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76616276--0.76623184) × R
    6.90799999999436e-05 × 6371000     		dl = 440.108679999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76616276--0.76623184) × R
    6.90799999999436e-05 × 6371000     		dr = 440.108679999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75903287--0.75893699) × cos(-0.76616276) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.720576615639288 × 6371000     		do = 440.165292116362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75903287--0.75893699) × cos(-0.76623184) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.720528715552579 × 6371000     		du = 440.136032277503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76616276)-sin(-0.76623184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720576615639288-0.720528715552579)×R²
    abs(-0.75893699--0.75903287)×4.7900086709185e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7900086709185e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7900086709185e-05×40589641000000     		ar = 193714.1270175m²