Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24851 / 41534
↖ ↑ ↗
← S 43.317185°
W 43.489380°		 ← 444.44 m → S 43.317185°
W 43.483886°		 →
↑
444.38 m
↓
↑
444.38 m
↓
S 43.321181°
W 43.489380°		 ← 444.41 m →
197 490 m²		 S 43.321181°
W 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379203796386719 y=0.633766174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379203796386719 × 216)
    floor (0.379203796386719 × 65536)
    floor (24851.5)     		tx = 24851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633766174316406 × 216)
    floor (0.633766174316406 × 65536)
    floor (41534.5)     		ty = 41534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24851 / 41534 ti = "16/24851/41534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24851/41534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24851 ÷ 216
    24851 ÷ 65536     		x = 0.379196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41534 ÷ 216
    41534 ÷ 65536     		y = 0.633758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.26751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.840429724138824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75903287} λ = -0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840429724138824))-π/2
    2×atan(0.431525046850913)-π/2
    2×0.407384413669381-π/2
    0.814768827338761-1.57079632675     		φ = -0.75602750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75602750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.317185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24851 KachelY 41534 -0.75903287 -0.75602750 -43.489380 -43.317185
    Oben rechts KachelX + 1 24852 KachelY 41534 -0.75893699 -0.75602750 -43.483886 -43.317185
    Unten links KachelX 24851 KachelY + 1 41535 -0.75903287 -0.75609725 -43.489380 -43.321181
    Unten rechts KachelX + 1 24852 KachelY + 1 41535 -0.75893699 -0.75609725 -43.483886 -43.321181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75602750--0.75609725) × R
    6.97500000000906e-05 × 6371000     		dl = 444.377250000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75602750--0.75609725) × R
    6.97500000000906e-05 × 6371000     		dr = 444.377250000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75903287--0.75893699) × cos(-0.75602750) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.727567024760958 × 6371000     		do = 444.435393874136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75903287--0.75893699) × cos(-0.75609725) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.727519171937914 × 6371000     		du = 444.406162906358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75602750)-sin(-0.75609725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727567024760958-0.727519171937914)×R²
    abs(-0.75893699--0.75903287)×4.78528230444253e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78528230444253e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78528230444253e-05×40589641000000     		ar = 197490.483424352m²