Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24851 / 29197
↖ ↑ ↗
← N 19.243736°
W 43.489380°		 ← 576.72 m → N 19.243736°
W 43.483886°		 →
↑
576.70 m
↓
↑
576.70 m
↓
N 19.238550°
W 43.489380°		 ← 576.74 m →
332 601 m²		 N 19.238550°
W 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379203796386719 y=0.445518493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379203796386719 × 216)
    floor (0.379203796386719 × 65536)
    floor (24851.5)     		tx = 24851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445518493652344 × 216)
    floor (0.445518493652344 × 65536)
    floor (29197.5)     		ty = 29197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24851 / 29197 ti = "16/24851/29197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24851/29197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24851 ÷ 216
    24851 ÷ 65536     		x = 0.379196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29197 ÷ 216
    29197 ÷ 65536     		y = 0.445510864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445510864257812 × 2 - 1) × π
    0.108978271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.342365337086441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75903287} λ = -0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342365337086441))-π/2
    2×atan(1.40827469851876)-π/2
    2×0.95333144172597-π/2
    1.90666288345194-1.57079632675     		φ = 0.33586656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33586656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.243736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24851 KachelY 29197 -0.75903287 0.33586656 -43.489380 19.243736
    Oben rechts KachelX + 1 24852 KachelY 29197 -0.75893699 0.33586656 -43.483886 19.243736
    Unten links KachelX 24851 KachelY + 1 29198 -0.75903287 0.33577604 -43.489380 19.238550
    Unten rechts KachelX + 1 24852 KachelY + 1 29198 -0.75893699 0.33577604 -43.483886 19.238550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33586656-0.33577604) × R
    9.05199999999828e-05 × 6371000     		dl = 576.702919999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33586656-0.33577604) × R
    9.05199999999828e-05 × 6371000     		dr = 576.702919999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75903287--0.75893699) × cos(0.33586656) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.944125056865237 × 6371000     		do = 576.720188290836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75903287--0.75893699) × cos(0.33577604) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.944154887251751 × 6371000     		du = 576.738410226587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33586656)-sin(0.33577604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944125056865237-0.944154887251751)×R²
    abs(-0.75893699--0.75903287)×2.98303865136074e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.98303865136074e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.98303865136074e-05×40589641000000     		ar = 332601.47115907m²