Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24850 / 8497
↖ ↑ ↗
← N 65.141497°
E 93.010254°		 ← 513.55 m → N 65.141497°
E 93.021240°		 →
↑
513.57 m
↓
↑
513.57 m
↓
N 65.136878°
E 93.010254°		 ← 513.64 m →
263 766 m²		 N 65.136878°
E 93.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758377075195312 y=0.259323120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758377075195312 × 215)
    floor (0.758377075195312 × 32768)
    floor (24850.5)     		tx = 24850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259323120117188 × 215)
    floor (0.259323120117188 × 32768)
    floor (8497.5)     		ty = 8497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24850 / 8497 ti = "15/24850/8497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24850/8497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24850 ÷ 215
    24850 ÷ 32768     		x = 0.75836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8497 ÷ 215
    8497 ÷ 32768     		y = 0.259307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75836181640625 × 2 - 1) × π
    0.5167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62333517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259307861328125 × 2 - 1) × π
    0.48138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51231330921353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62333517} λ = 1.62333517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51231330921353))-π/2
    2×atan(4.53721464388555)-π/2
    2×1.35386496307054-π/2
    2.70772992614108-1.57079632675     		φ = 1.13693360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62333517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13693360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.141497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24850 KachelY 8497 1.62333517 1.13693360 93.010254 65.141497
    Oben rechts KachelX + 1 24851 KachelY 8497 1.62352692 1.13693360 93.021240 65.141497
    Unten links KachelX 24850 KachelY + 1 8498 1.62333517 1.13685299 93.010254 65.136878
    Unten rechts KachelX + 1 24851 KachelY + 1 8498 1.62352692 1.13685299 93.021240 65.136878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13693360-1.13685299) × R
    8.06100000001475e-05 × 6371000     		dl = 513.56631000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13693360-1.13685299) × R
    8.06100000001475e-05 × 6371000     		dr = 513.56631000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62333517-1.62352692) × cos(1.13693360) × R
    0.000191749999999935 × 0.420378770065312 × 6371000     		do = 513.551205378337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62333517-1.62352692) × cos(1.13685299) × R
    0.000191749999999935 × 0.420451910079303 × 6371000     		du = 513.640556090174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13693360)-sin(1.13685299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420378770065312-0.420451910079303)×R²
    abs(1.62352692-1.62333517)×7.31400139908356e-05×R²
    0.000191749999999935×7.31400139908356e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.31400139908356e-05×40589641000000     		ar = 263765.541443742m²