Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24850 / 26374
↖ ↑ ↗
← N 33.109948°
W 43.494873°		 ← 511.61 m → N 33.109948°
W 43.489380°		 →
↑
511.66 m
↓
↑
511.66 m
↓
N 33.105347°
W 43.494873°		 ← 511.64 m →
261 775 m²		 N 33.105347°
W 43.489380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379188537597656 y=0.402442932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379188537597656 × 216)
    floor (0.379188537597656 × 65536)
    floor (24850.5)     		tx = 24850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402442932128906 × 216)
    floor (0.402442932128906 × 65536)
    floor (26374.5)     		ty = 26374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24850 / 26374 ti = "16/24850/26374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24850/26374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24850 ÷ 216
    24850 ÷ 65536     		x = 0.379180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26374 ÷ 216
    26374 ÷ 65536     		y = 0.402435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.24163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75912874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402435302734375 × 2 - 1) × π
    0.19512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613017072341278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75912874} λ = -0.75912874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613017072341278))-π/2
    2×atan(1.84599249835234)-π/2
    2×1.07433696987178-π/2
    2.14867393974357-1.57079632675     		φ = 0.57787761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75912874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.494873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57787761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.109948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24850 KachelY 26374 -0.75912874 0.57787761 -43.494873 33.109948
    Oben rechts KachelX + 1 24851 KachelY 26374 -0.75903287 0.57787761 -43.489380 33.109948
    Unten links KachelX 24850 KachelY + 1 26375 -0.75912874 0.57779730 -43.494873 33.105347
    Unten rechts KachelX + 1 24851 KachelY + 1 26375 -0.75903287 0.57779730 -43.489380 33.105347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57787761-0.57779730) × R
    8.03100000000834e-05 × 6371000     		dl = 511.655010000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57787761-0.57779730) × R
    8.03100000000834e-05 × 6371000     		dr = 511.655010000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75912874--0.75903287) × cos(0.57787761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837623885626437 × 6371000     		do = 511.610425200495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75912874--0.75903287) × cos(0.57779730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837667752054184 × 6371000     		du = 511.637218278077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57787761)-sin(0.57779730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837623885626437-0.837667752054184)×R²
    abs(-0.75903287--0.75912874)×4.38664277474521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38664277474521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38664277474521e-05×40589641000000     		ar = 261774.891769033m²