Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2485 / 598
↖ ↑ ↗
← N 77.655346°
E 38.408203°		 ← 2 089.40 m → N 77.655346°
E 38.496094°		 →
↑
2 090.96 m
↓
↑
2 090.96 m
↓
N 77.636542°
E 38.408203°		 ← 2 092.53 m →
4 372 128 m²		 N 77.636542°
E 38.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6068115234375 y=0.1461181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6068115234375 × 212)
    floor (0.6068115234375 × 4096)
    floor (2485.5)     		tx = 2485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1461181640625 × 212)
    floor (0.1461181640625 × 4096)
    floor (598.5)     		ty = 598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2485 / 598 ti = "12/2485/598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2485/598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2485 ÷ 212
    2485 ÷ 4096     		x = 0.606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 598 ÷ 212
    598 ÷ 4096     		y = 0.14599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606689453125 × 2 - 1) × π
    0.21337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67034960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    0.7080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67034960} λ = 0.67034960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22427214237061))-π/2
    2×atan(9.24675003639494)-π/2
    2×1.46306889821281-π/2
    2.92613779642562-1.57079632675     		φ = 1.35534147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67034960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.408203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35534147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.655346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2485 KachelY 598 0.67034960 1.35534147 38.408203 77.655346
    Oben rechts KachelX + 1 2486 KachelY 598 0.67188359 1.35534147 38.496094 77.655346
    Unten links KachelX 2485 KachelY + 1 599 0.67034960 1.35501327 38.408203 77.636542
    Unten rechts KachelX + 1 2486 KachelY + 1 599 0.67188359 1.35501327 38.496094 77.636542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35534147-1.35501327) × R
    0.000328200000000001 × 6371000     		dl = 2090.9622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35534147-1.35501327) × R
    0.000328200000000001 × 6371000     		dr = 2090.9622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67034960-0.67188359) × cos(1.35534147) × R
    0.00153398999999999 × 0.213791790566591 × 6371000     		do = 2089.39792079642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67034960-0.67188359) × cos(1.35501327) × R
    0.00153398999999999 × 0.214112390816571 × 6371000     		du = 2092.53116316246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35534147)-sin(1.35501327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213791790566591-0.214112390816571)×R²
    abs(0.67188359-0.67034960)×0.000320600249979847×R²
    0.00153398999999999×0.000320600249979847×6371000²
    0.00153398999999999×0.000320600249979847×40589641000000     		ar = 4372127.85806426m²