Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24849 / 41466
↖ ↑ ↗
← S 43.044805°
W 43.500366°		 ← 446.42 m → S 43.044805°
W 43.494873°		 →
↑
446.35 m
↓
↑
446.35 m
↓
S 43.048820°
W 43.500366°		 ← 446.39 m →
199 255 m²		 S 43.048820°
W 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379173278808594 y=0.632728576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379173278808594 × 216)
    floor (0.379173278808594 × 65536)
    floor (24849.5)     		tx = 24849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632728576660156 × 216)
    floor (0.632728576660156 × 65536)
    floor (41466.5)     		ty = 41466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24849 / 41466 ti = "16/24849/41466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24849/41466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24849 ÷ 216
    24849 ÷ 65536     		x = 0.379165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41466 ÷ 216
    41466 ÷ 65536     		y = 0.632720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.241668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75922462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.26544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.833910305790497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75922462} λ = -0.75922462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833910305790497))-π/2
    2×atan(0.434347529635194)-π/2
    2×0.409761373237213-π/2
    0.819522746474426-1.57079632675     		φ = -0.75127358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75922462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.500366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75127358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.044805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24849 KachelY 41466 -0.75922462 -0.75127358 -43.500366 -43.044805
    Oben rechts KachelX + 1 24850 KachelY 41466 -0.75912874 -0.75127358 -43.494873 -43.044805
    Unten links KachelX 24849 KachelY + 1 41467 -0.75922462 -0.75134364 -43.500366 -43.048820
    Unten rechts KachelX + 1 24850 KachelY + 1 41467 -0.75912874 -0.75134364 -43.494873 -43.048820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75127358--0.75134364) × R
    7.00599999999829e-05 × 6371000     		dl = 446.352259999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75127358--0.75134364) × R
    7.00599999999829e-05 × 6371000     		dr = 446.352259999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75922462--0.75912874) × cos(-0.75127358) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.73082015421472 × 6371000     		do = 446.422572816114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75922462--0.75912874) × cos(-0.75134364) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.730772331561986 × 6371000     		du = 446.393360277914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75127358)-sin(-0.75134364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73082015421472-0.730772331561986)×R²
    abs(-0.75912874--0.75922462)×4.78226527341752e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78226527341752e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78226527341752e-05×40589641000000     		ar = 199255.204831812m²