Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24848 / 56994
↖ ↑ ↗
← N 22.831883°
W111.752930°		 ← 281.49 m → N 22.831883°
W111.750183°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
N 22.829352°
W111.752930°		 ← 281.50 m →
79 233 m²		 N 22.829352°
W111.750183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189579010009766 y=0.434833526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189579010009766 × 217)
    floor (0.189579010009766 × 131072)
    floor (24848.5)     		tx = 24848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434833526611328 × 217)
    floor (0.434833526611328 × 131072)
    floor (56994.5)     		ty = 56994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24848 / 56994 ti = "17/24848/56994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24848/56994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24848 ÷ 217
    24848 ÷ 131072     		x = 0.1895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56994 ÷ 217
    56994 ÷ 131072     		y = 0.434829711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.95045657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434829711914062 × 2 - 1) × π
    0.130340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40947699655452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95045657} λ = -1.95045657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40947699655452))-π/2
    2×atan(1.5060299202655)-π/2
    2×0.984643932006675-π/2
    1.96928786401335-1.57079632675     		φ = 0.39849154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95045657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.752930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39849154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.831883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24848 KachelY 56994 -1.95045657 0.39849154 -111.752930 22.831883
    Oben rechts KachelX + 1 24849 KachelY 56994 -1.95040863 0.39849154 -111.750183 22.831883
    Unten links KachelX 24848 KachelY + 1 56995 -1.95045657 0.39844736 -111.752930 22.829352
    Unten rechts KachelX + 1 24849 KachelY + 1 56995 -1.95040863 0.39844736 -111.750183 22.829352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39849154-0.39844736) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dl = 281.47078000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39849154-0.39844736) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dr = 281.47078000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95045657--1.95040863) × cos(0.39849154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921647367858105 × 6371000     		do = 281.494829346929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95045657--1.95040863) × cos(0.39844736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921664510058472 × 6371000     		du = 281.500065016162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39849154)-sin(0.39844736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921647367858105-0.921664510058472)×R²
    abs(-1.95040863--1.95045657)×1.71422003674149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71422003674149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71422003674149e-05×40589641000000     		ar = 79233.3060390241m²