Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24848 / 41463
↖ ↑ ↗
← S 43.032761°
W 43.505859°		 ← 446.46 m → S 43.032761°
W 43.500366°		 →
↑
446.48 m
↓
↑
446.48 m
↓
S 43.036776°
W 43.505859°		 ← 446.43 m →
199 330 m²		 S 43.036776°
W 43.500366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379158020019531 y=0.632682800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379158020019531 × 216)
    floor (0.379158020019531 × 65536)
    floor (24848.5)     		tx = 24848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632682800292969 × 216)
    floor (0.632682800292969 × 65536)
    floor (41463.5)     		ty = 41463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24848 / 41463 ti = "16/24848/41463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24848/41463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24848 ÷ 216
    24848 ÷ 65536     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41463 ÷ 216
    41463 ÷ 65536     		y = 0.632675170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632675170898438 × 2 - 1) × π
    -0.265350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.833622684392777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833622684392777))-π/2
    2×atan(0.434472475246418)-π/2
    2×0.409866483310886-π/2
    0.819732966621771-1.57079632675     		φ = -0.75106336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75106336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.032761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24848 KachelY 41463 -0.75932049 -0.75106336 -43.505859 -43.032761
    Oben rechts KachelX + 1 24849 KachelY 41463 -0.75922462 -0.75106336 -43.500366 -43.032761
    Unten links KachelX 24848 KachelY + 1 41464 -0.75932049 -0.75113344 -43.505859 -43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 24849 KachelY + 1 41464 -0.75922462 -0.75113344 -43.500366 -43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75106336--0.75113344) × R
    7.00800000000834e-05 × 6371000     		dl = 446.479680000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75106336--0.75113344) × R
    7.00800000000834e-05 × 6371000     		dr = 446.479680000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75922462) × cos(-0.75106336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730963627945679 × 6371000     		do = 446.463644264041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75922462) × cos(-0.75113344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 446.434433010427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75106336)-sin(-0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730963627945679-0.730915802407826)×R²
    abs(-0.75922462--0.75932049)×4.78255378536518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78255378536518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78255378536518e-05×40589641000000     		ar = 199330.423988856m²