Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24846 / 26898
↖ ↑ ↗
← N 30.666266°
W 43.516846°		 ← 525.43 m → N 30.666266°
W 43.511352°		 →
↑
525.42 m
↓
↑
525.42 m
↓
N 30.661541°
W 43.516846°		 ← 525.45 m →
276 074 m²		 N 30.661541°
W 43.511352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379127502441406 y=0.410438537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379127502441406 × 216)
    floor (0.379127502441406 × 65536)
    floor (24846.5)     		tx = 24846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410438537597656 × 216)
    floor (0.410438537597656 × 65536)
    floor (26898.5)     		ty = 26898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24846 / 26898 ti = "16/24846/26898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24846/26898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24846 ÷ 216
    24846 ÷ 65536     		x = 0.379119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26898 ÷ 216
    26898 ÷ 65536     		y = 0.410430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75951224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410430908203125 × 2 - 1) × π
    0.17913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.562779201539459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75951224} λ = -0.75951224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562779201539459))-π/2
    2×atan(1.75554473933505)-π/2
    2×1.05301181841831-π/2
    2.10602363683662-1.57079632675     		φ = 0.53522731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75951224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.516846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53522731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.666266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24846 KachelY 26898 -0.75951224 0.53522731 -43.516846 30.666266
    Oben rechts KachelX + 1 24847 KachelY 26898 -0.75941636 0.53522731 -43.511352 30.666266
    Unten links KachelX 24846 KachelY + 1 26899 -0.75951224 0.53514484 -43.516846 30.661541
    Unten rechts KachelX + 1 24847 KachelY + 1 26899 -0.75941636 0.53514484 -43.511352 30.661541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53522731-0.53514484) × R
    8.24700000000567e-05 × 6371000     		dl = 525.416370000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53522731-0.53514484) × R
    8.24700000000567e-05 × 6371000     		dr = 525.416370000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75951224--0.75941636) × cos(0.53522731) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.860152715084112 × 6371000     		do = 525.425559034803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75951224--0.75941636) × cos(0.53514484) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.860194774875236 × 6371000     		du = 525.45125132046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53522731)-sin(0.53514484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860152715084112-0.860194774875236)×R²
    abs(-0.75941636--0.75951224)×4.20597911245935e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.20597911245935e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.20597911245935e-05×40589641000000     		ar = 276073.93966357m²