Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24845 / 41455
↖ ↑ ↗
← S 43.000630°
W 43.522339°		 ← 446.70 m → S 43.000630°
W 43.516846°		 →
↑
446.73 m
↓
↑
446.73 m
↓
S 43.004647°
W 43.522339°		 ← 446.67 m →
199 549 m²		 S 43.004647°
W 43.516846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379112243652344 y=0.632560729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379112243652344 × 216)
    floor (0.379112243652344 × 65536)
    floor (24845.5)     		tx = 24845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632560729980469 × 216)
    floor (0.632560729980469 × 65536)
    floor (41455.5)     		ty = 41455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24845 / 41455 ti = "16/24845/41455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24845/41455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24845 ÷ 216
    24845 ÷ 65536     		x = 0.379104614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41455 ÷ 216
    41455 ÷ 65536     		y = 0.632553100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.241790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75960811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632553100585938 × 2 - 1) × π
    -0.265106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.832855693998856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75960811} λ = -0.75960811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832855693998856))-π/2
    2×atan(0.434805839288522)-π/2
    2×0.410146877710392-π/2
    0.820293755420783-1.57079632675     		φ = -0.75050257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75960811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.522339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75050257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.000630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24845 KachelY 41455 -0.75960811 -0.75050257 -43.522339 -43.000630
    Oben rechts KachelX + 1 24846 KachelY 41455 -0.75951224 -0.75050257 -43.516846 -43.000630
    Unten links KachelX 24845 KachelY + 1 41456 -0.75960811 -0.75057269 -43.522339 -43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 24846 KachelY + 1 41456 -0.75951224 -0.75057269 -43.516846 -43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75050257--0.75057269) × R
    7.01200000000624e-05 × 6371000     		dl = 446.734520000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75050257--0.75057269) × R
    7.01200000000624e-05 × 6371000     		dr = 446.734520000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75960811--0.75951224) × cos(-0.75050257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731346205292874 × 6371000     		do = 446.697317828787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75960811--0.75951224) × cos(-0.75057269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 446.668107461585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75050257)-sin(-0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731346205292874-0.731298381206282)×R²
    abs(-0.75951224--0.75960811)×4.78240865914303e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78240865914303e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78240865914303e-05×40589641000000     		ar = 199548.587307894m²