Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24844 / 41458
↖ ↑ ↗
← S 43.012681°
W 43.527832°		 ← 446.66 m → S 43.012681°
W 43.522339°		 →
↑
446.61 m
↓
↑
446.61 m
↓
S 43.016697°
W 43.527832°		 ← 446.63 m →
199 473 m²		 S 43.016697°
W 43.522339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379096984863281 y=0.632606506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379096984863281 × 216)
    floor (0.379096984863281 × 65536)
    floor (24844.5)     		tx = 24844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632606506347656 × 216)
    floor (0.632606506347656 × 65536)
    floor (41458.5)     		ty = 41458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24844 / 41458 ti = "16/24844/41458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24844/41458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24844 ÷ 216
    24844 ÷ 65536     		x = 0.37908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41458 ÷ 216
    41458 ÷ 65536     		y = 0.632598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.2418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75970399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.26519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.833143315396576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75970399} λ = -0.75970399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833143315396576))-π/2
    2×atan(0.434680797808453)-π/2
    2×0.41004171261732-π/2
    0.820083425234641-1.57079632675     		φ = -0.75071290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75970399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.527832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75071290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.012681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24844 KachelY 41458 -0.75970399 -0.75071290 -43.527832 -43.012681
    Oben rechts KachelX + 1 24845 KachelY 41458 -0.75960811 -0.75071290 -43.522339 -43.012681
    Unten links KachelX 24844 KachelY + 1 41459 -0.75970399 -0.75078300 -43.527832 -43.016697
    Unten rechts KachelX + 1 24845 KachelY + 1 41459 -0.75960811 -0.75078300 -43.522339 -43.016697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75071290--0.75078300) × R
    7.00999999999619e-05 × 6371000     		dl = 446.607099999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75071290--0.75078300) × R
    7.00999999999619e-05 × 6371000     		dr = 446.607099999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75970399--0.75960811) × cos(-0.75071290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.731202742711166 × 6371000     		do = 446.656277565399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75970399--0.75960811) × cos(-0.75078300) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.731154921484072 × 6371000     		du = 446.627065898054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75071290)-sin(-0.75078300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731202742711166-0.731154921484072)×R²
    abs(-0.75960811--0.75970399)×4.78212270935696e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78212270935696e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78212270935696e-05×40589641000000     		ar = 199473.341832574m²