Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24843 / 41461
↖ ↑ ↗
← S 43.024730°
W 43.533325°		 ← 446.52 m → S 43.024730°
W 43.527832°		 →
↑
446.54 m
↓
↑
446.54 m
↓
S 43.028745°
W 43.533325°		 ← 446.49 m →
199 385 m²		 S 43.028745°
W 43.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379081726074219 y=0.632652282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379081726074219 × 216)
    floor (0.379081726074219 × 65536)
    floor (24843.5)     		tx = 24843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632652282714844 × 216)
    floor (0.632652282714844 × 65536)
    floor (41461.5)     		ty = 41461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24843 / 41461 ti = "16/24843/41461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24843/41461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24843 ÷ 216
    24843 ÷ 65536     		x = 0.379074096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41461 ÷ 216
    41461 ÷ 65536     		y = 0.632644653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.241851806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75979986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632644653320312 × 2 - 1) × π
    -0.265289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.833430936794296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75979986} λ = -0.75979986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833430936794296))-π/2
    2×atan(0.434555792287818)-π/2
    2×0.409936568156023-π/2
    0.819873136312047-1.57079632675     		φ = -0.75092319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75979986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.533325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75092319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.024730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24843 KachelY 41461 -0.75979986 -0.75092319 -43.533325 -43.024730
    Oben rechts KachelX + 1 24844 KachelY 41461 -0.75970399 -0.75092319 -43.527832 -43.024730
    Unten links KachelX 24843 KachelY + 1 41462 -0.75979986 -0.75099328 -43.533325 -43.028745
    Unten rechts KachelX + 1 24844 KachelY + 1 41462 -0.75970399 -0.75099328 -43.527832 -43.028745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75092319--0.75099328) × R
    7.00900000000226e-05 × 6371000     		dl = 446.543390000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75092319--0.75099328) × R
    7.00900000000226e-05 × 6371000     		dr = 446.543390000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75979986--0.75970399) × cos(-0.75092319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731059275074552 × 6371000     		do = 446.522064360592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75979986--0.75970399) × cos(-0.75099328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73101144989362 × 6371000     		du = 446.492853324981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75092319)-sin(-0.75099328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731059275074552-0.73101144989362)×R²
    abs(-0.75970399--0.75979986)×4.78251809319374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78251809319374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78251809319374e-05×40589641000000     		ar = 199384.95441385m²