Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24841 / 41669
↖ ↑ ↗
← S 43.854336°
W 43.544312°		 ← 440.49 m → S 43.854336°
W 43.538818°		 →
↑
440.43 m
↓
↑
440.43 m
↓
S 43.858297°
W 43.544312°		 ← 440.46 m →
193 996 m²		 S 43.858297°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379051208496094 y=0.635826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379051208496094 × 216)
    floor (0.379051208496094 × 65536)
    floor (24841.5)     		tx = 24841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635826110839844 × 216)
    floor (0.635826110839844 × 65536)
    floor (41669.5)     		ty = 41669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24841 / 41669 ti = "16/24841/41669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24841/41669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24841 ÷ 216
    24841 ÷ 65536     		x = 0.379043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41669 ÷ 216
    41669 ÷ 65536     		y = 0.635818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.241912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75999161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635818481445312 × 2 - 1) × π
    -0.271636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85337268703624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75999161} λ = -0.75999161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85337268703624))-π/2
    2×atan(0.425975823344272)-π/2
    2×0.402696888168541-π/2
    0.805393776337082-1.57079632675     		φ = -0.76540255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75999161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.544312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76540255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.854336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24841 KachelY 41669 -0.75999161 -0.76540255 -43.544312 -43.854336
    Oben rechts KachelX + 1 24842 KachelY 41669 -0.75989573 -0.76540255 -43.538818 -43.854336
    Unten links KachelX 24841 KachelY + 1 41670 -0.75999161 -0.76547168 -43.544312 -43.858297
    Unten rechts KachelX + 1 24842 KachelY + 1 41670 -0.75989573 -0.76547168 -43.538818 -43.858297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76540255--0.76547168) × R
    6.91299999999728e-05 × 6371000     		dl = 440.427229999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76540255--0.76547168) × R
    6.91299999999728e-05 × 6371000     		dr = 440.427229999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75999161--0.75989573) × cos(-0.76540255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.721103518226621 × 6371000     		do = 440.487151342159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75999161--0.75989573) × cos(-0.76547168) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		du = 440.457893464149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76540255)-sin(-0.76547168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721103518226621-0.721055621349935)×R²
    abs(-0.75989573--0.75999161)×4.78968766856047e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78968766856047e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78968766856047e-05×40589641000000     		ar = 193996.093010441m²