Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24841 / 29226
↖ ↑ ↗
← N 19.093267°
W 43.544312°		 ← 577.25 m → N 19.093267°
W 43.538818°		 →
↑
577.21 m
↓
↑
577.21 m
↓
N 19.088076°
W 43.544312°		 ← 577.27 m →
333 199 m²		 N 19.088076°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379051208496094 y=0.445960998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379051208496094 × 216)
    floor (0.379051208496094 × 65536)
    floor (24841.5)     		tx = 24841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445960998535156 × 216)
    floor (0.445960998535156 × 65536)
    floor (29226.5)     		ty = 29226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24841 / 29226 ti = "16/24841/29226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24841/29226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24841 ÷ 216
    24841 ÷ 65536     		x = 0.379043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29226 ÷ 216
    29226 ÷ 65536     		y = 0.445953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.241912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75999161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    0.10809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339584996908478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75999161} λ = -0.75999161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339584996908478))-π/2
    2×atan(1.4043646539387)-π/2
    2×0.952018347273336-π/2
    1.90403669454667-1.57079632675     		φ = 0.33324037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75999161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.544312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33324037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.093267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24841 KachelY 29226 -0.75999161 0.33324037 -43.544312 19.093267
    Oben rechts KachelX + 1 24842 KachelY 29226 -0.75989573 0.33324037 -43.538818 19.093267
    Unten links KachelX 24841 KachelY + 1 29227 -0.75999161 0.33314977 -43.544312 19.088076
    Unten rechts KachelX + 1 24842 KachelY + 1 29227 -0.75989573 0.33314977 -43.538818 19.088076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33324037-0.33314977) × R
    9.05999999999962e-05 × 6371000     		dl = 577.212599999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33324037-0.33314977) × R
    9.05999999999962e-05 × 6371000     		dr = 577.212599999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75999161--0.75989573) × cos(0.33324037) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944987359341112 × 6371000     		do = 577.2469270351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75999161--0.75989573) × cos(0.33314977) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.945016991343196 × 6371000     		du = 577.265027787428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33324037)-sin(0.33314977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944987359341112-0.945016991343196)×R²
    abs(-0.75989573--0.75999161)×2.96320020838348e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.96320020838348e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.96320020838348e-05×40589641000000     		ar = 333199.423815003m²