Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24841 / 26856
↖ ↑ ↗
← N 30.864510°
W 43.544312°		 ← 524.34 m → N 30.864510°
W 43.538818°		 →
↑
524.33 m
↓
↑
524.33 m
↓
N 30.859795°
W 43.544312°		 ← 524.37 m →
274 938 m²		 N 30.859795°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379051208496094 y=0.409797668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379051208496094 × 216)
    floor (0.379051208496094 × 65536)
    floor (24841.5)     		tx = 24841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409797668457031 × 216)
    floor (0.409797668457031 × 65536)
    floor (26856.5)     		ty = 26856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24841 / 26856 ti = "16/24841/26856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24841/26856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24841 ÷ 216
    24841 ÷ 65536     		x = 0.379043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26856 ÷ 216
    26856 ÷ 65536     		y = 0.4097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.241912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75999161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4097900390625 × 2 - 1) × π
    0.180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.566805901107544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75999161} λ = -0.75999161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566805901107544))-π/2
    2×atan(1.76262804217402)-π/2
    2×1.05474182612233-π/2
    2.10948365224466-1.57079632675     		φ = 0.53868733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75999161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.544312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53868733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.864510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24841 KachelY 26856 -0.75999161 0.53868733 -43.544312 30.864510
    Oben rechts KachelX + 1 24842 KachelY 26856 -0.75989573 0.53868733 -43.538818 30.864510
    Unten links KachelX 24841 KachelY + 1 26857 -0.75999161 0.53860503 -43.544312 30.859795
    Unten rechts KachelX + 1 24842 KachelY + 1 26857 -0.75989573 0.53860503 -43.538818 30.859795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53868733-0.53860503) × R
    8.22999999999796e-05 × 6371000     		dl = 524.33329999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53868733-0.53860503) × R
    8.22999999999796e-05 × 6371000     		dr = 524.33329999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75999161--0.75989573) × cos(0.53868733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.858382833102277 × 6371000     		do = 524.344424007382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75999161--0.75989573) × cos(0.53860503) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.858425050890256 × 6371000     		du = 524.370212805651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53868733)-sin(0.53860503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858382833102277-0.858425050890256)×R²
    abs(-0.75989573--0.75999161)×4.22177879790819e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.22177879790819e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.22177879790819e-05×40589641000000     		ar = 274938.003294156m²