Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24840 / 8504
↖ ↑ ↗
← N 65.109148°
E 92.900390°		 ← 514.18 m → N 65.109148°
E 92.911377°		 →
↑
514.20 m
↓
↑
514.20 m
↓
N 65.104524°
E 92.900390°		 ← 514.27 m →
264 415 m²		 N 65.104524°
E 92.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758071899414062 y=0.259536743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758071899414062 × 215)
    floor (0.758071899414062 × 32768)
    floor (24840.5)     		tx = 24840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259536743164062 × 215)
    floor (0.259536743164062 × 32768)
    floor (8504.5)     		ty = 8504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24840 / 8504 ti = "15/24840/8504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24840/8504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24840 ÷ 215
    24840 ÷ 32768     		x = 0.758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8504 ÷ 215
    8504 ÷ 32768     		y = 0.259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62141769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259521484375 × 2 - 1) × π
    0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62141769} λ = 1.62141769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51097107602417))-π/2
    2×atan(4.53112872907538)-π/2
    2×1.35358266805156-π/2
    2.70716533610311-1.57079632675     		φ = 1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62141769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.900390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24840 KachelY 8504 1.62141769 1.13636901 92.900390 65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 24841 KachelY 8504 1.62160944 1.13636901 92.911377 65.109148
    Unten links KachelX 24840 KachelY + 1 8505 1.62141769 1.13628830 92.900390 65.104524
    Unten rechts KachelX + 1 24841 KachelY + 1 8505 1.62160944 1.13628830 92.911377 65.104524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13636901-1.13628830) × R
    8.07099999999839e-05 × 6371000     		dl = 514.203409999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13636901-1.13628830) × R
    8.07099999999839e-05 × 6371000     		dr = 514.203409999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62141769-1.62160944) × cos(1.13636901) × R
    0.000191750000000157 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 514.176944863491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62141769-1.62160944) × cos(1.13628830) × R
    0.000191750000000157 × 0.420964194624736 × 6371000     		du = 514.266382998638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13636901)-sin(1.13628830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.420964194624736)×R²
    abs(1.62160944-1.62141769)×7.32115762874241e-05×R²
    0.000191750000000157×7.32115762874241e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.32115762874241e-05×40589641000000     		ar = 264414.533232422m²