Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24840 / 29193
↖ ↑ ↗
← N 19.264480°
W 43.549805°		 ← 576.59 m → N 19.264480°
W 43.544312°		 →
↑
576.64 m
↓
↑
576.64 m
↓
N 19.259294°
W 43.549805°		 ← 576.61 m →
332 488 m²		 N 19.259294°
W 43.544312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379035949707031 y=0.445457458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379035949707031 × 216)
    floor (0.379035949707031 × 65536)
    floor (24840.5)     		tx = 24840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445457458496094 × 216)
    floor (0.445457458496094 × 65536)
    floor (29193.5)     		ty = 29193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24840 / 29193 ti = "16/24840/29193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24840/29193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24840 ÷ 216
    24840 ÷ 65536     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29193 ÷ 216
    29193 ÷ 65536     		y = 0.445449829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445449829101562 × 2 - 1) × π
    0.109100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.342748832283401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342748832283401))-π/2
    2×atan(1.40881486867136)-π/2
    2×0.953512463994132-π/2
    1.90702492798826-1.57079632675     		φ = 0.33622860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33622860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.264480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24840 KachelY 29193 -0.76008748 0.33622860 -43.549805 19.264480
    Oben rechts KachelX + 1 24841 KachelY 29193 -0.75999161 0.33622860 -43.544312 19.264480
    Unten links KachelX 24840 KachelY + 1 29194 -0.76008748 0.33613809 -43.549805 19.259294
    Unten rechts KachelX + 1 24841 KachelY + 1 29194 -0.75999161 0.33613809 -43.544312 19.259294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33622860-0.33613809) × R
    9.05099999999881e-05 × 6371000     		dl = 576.639209999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33622860-0.33613809) × R
    9.05099999999881e-05 × 6371000     		dr = 576.639209999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75999161) × cos(0.33622860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944005671158414 × 6371000     		do = 576.587118754188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75999161) × cos(0.33613809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944035529185758 × 6371000     		du = 576.605355672127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33622860)-sin(0.33613809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944005671158414-0.944035529185758)×R²
    abs(-0.75999161--0.76008748)×2.98580273440097e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98580273440097e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98580273440097e-05×40589641000000     		ar = 332487.998942448m²