Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24831 / 26877
↖ ↑ ↗
← N 30.765439°
W 43.599243°		 ← 524.83 m → N 30.765439°
W 43.593750°		 →
↑
524.84 m
↓
↑
524.84 m
↓
N 30.760719°
W 43.599243°		 ← 524.86 m →
275 460 m²		 N 30.760719°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378898620605469 y=0.410118103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378898620605469 × 216)
    floor (0.378898620605469 × 65536)
    floor (24831.5)     		tx = 24831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410118103027344 × 216)
    floor (0.410118103027344 × 65536)
    floor (26877.5)     		ty = 26877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24831 / 26877 ti = "16/24831/26877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24831/26877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24831 ÷ 216
    24831 ÷ 65536     		x = 0.378890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26877 ÷ 216
    26877 ÷ 65536     		y = 0.410110473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378890991210938 × 2 - 1) × π
    -0.242218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76095034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410110473632812 × 2 - 1) × π
    0.179779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.564792551323502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76095034} λ = -0.76095034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564792551323502))-π/2
    2×atan(1.75908282546418)-π/2
    2×1.05387726769418-π/2
    2.10775453538836-1.57079632675     		φ = 0.53695821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76095034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53695821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.765439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24831 KachelY 26877 -0.76095034 0.53695821 -43.599243 30.765439
    Oben rechts KachelX + 1 24832 KachelY 26877 -0.76085447 0.53695821 -43.593750 30.765439
    Unten links KachelX 24831 KachelY + 1 26878 -0.76095034 0.53687583 -43.599243 30.760719
    Unten rechts KachelX + 1 24832 KachelY + 1 26878 -0.76085447 0.53687583 -43.593750 30.760719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53695821-0.53687583) × R
    8.23799999999375e-05 × 6371000     		dl = 524.842979999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53695821-0.53687583) × R
    8.23799999999375e-05 × 6371000     		dr = 524.842979999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76095034--0.76085447) × cos(0.53695821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859268604704328 × 6371000     		do = 524.830754898356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76095034--0.76085447) × cos(0.53687583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859310741189041 × 6371000     		du = 524.85649134789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53695821)-sin(0.53687583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859268604704328-0.859310741189041)×R²
    abs(-0.76085447--0.76095034)×4.21364847129624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21364847129624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21364847129624e-05×40589641000000     		ar = 275460.491349475m²