Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24830 / 41683
↖ ↑ ↗
← S 43.909766°
W 43.604736°		 ← 440.08 m → S 43.909766°
W 43.599243°		 →
↑
440.04 m
↓
↑
440.04 m
↓
S 43.913723°
W 43.604736°		 ← 440.05 m →
193 647 m²		 S 43.913723°
W 43.599243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378883361816406 y=0.636039733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378883361816406 × 216)
    floor (0.378883361816406 × 65536)
    floor (24830.5)     		tx = 24830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636039733886719 × 216)
    floor (0.636039733886719 × 65536)
    floor (41683.5)     		ty = 41683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24830 / 41683 ti = "16/24830/41683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24830/41683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24830 ÷ 216
    24830 ÷ 65536     		x = 0.378875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41683 ÷ 216
    41683 ÷ 65536     		y = 0.636032104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76104622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636032104492188 × 2 - 1) × π
    -0.272064208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.854714920225601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76104622} λ = -0.76104622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854714920225601))-π/2
    2×atan(0.42540444800157)-π/2
    2×0.402213168655613-π/2
    0.804426337311226-1.57079632675     		φ = -0.76636999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76104622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76636999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.909766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24830 KachelY 41683 -0.76104622 -0.76636999 -43.604736 -43.909766
    Oben rechts KachelX + 1 24831 KachelY 41683 -0.76095034 -0.76636999 -43.599243 -43.909766
    Unten links KachelX 24830 KachelY + 1 41684 -0.76104622 -0.76643906 -43.604736 -43.913723
    Unten rechts KachelX + 1 24831 KachelY + 1 41684 -0.76095034 -0.76643906 -43.599243 -43.913723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76636999--0.76643906) × R
    6.90700000000044e-05 × 6371000     		dl = 440.044970000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76636999--0.76643906) × R
    6.90700000000044e-05 × 6371000     		dr = 440.044970000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76104622--0.76095034) × cos(-0.76636999) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720432911999446 × 6371000     		do = 440.077510535792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76104622--0.76095034) × cos(-0.76643906) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720385008534475 × 6371000     		du = 440.048248633318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76636999)-sin(-0.76643906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720432911999446-0.720385008534475)×R²
    abs(-0.76095034--0.76104622)×4.79034649711885e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79034649711885e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79034649711885e-05×40589641000000     		ar = 193647.456721701m²