Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2483 / 603
↖ ↑ ↗
← N 77.561042°
E 38.232422°		 ← 2 105.10 m → N 77.561042°
E 38.320312°		 →
↑
2 106.70 m
↓
↑
2 106.70 m
↓
N 77.542096°
E 38.232422°		 ← 2 108.25 m →
4 438 125 m²		 N 77.542096°
E 38.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6063232421875 y=0.1473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6063232421875 × 212)
    floor (0.6063232421875 × 4096)
    floor (2483.5)     		tx = 2483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1473388671875 × 212)
    floor (0.1473388671875 × 4096)
    floor (603.5)     		ty = 603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2483 / 603 ti = "12/2483/603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2483/603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2483 ÷ 212
    2483 ÷ 4096     		x = 0.606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 603 ÷ 212
    603 ÷ 4096     		y = 0.147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606201171875 × 2 - 1) × π
    0.21240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66728164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    0.70556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66728164} λ = 0.66728164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2166022384314))-π/2
    2×atan(9.17609963909427)-π/2
    2×1.4622459381396-π/2
    2.9244918762792-1.57079632675     		φ = 1.35369555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66728164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.232422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35369555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.561042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2483 KachelY 603 0.66728164 1.35369555 38.232422 77.561042
    Oben rechts KachelX + 1 2484 KachelY 603 0.66881562 1.35369555 38.320312 77.561042
    Unten links KachelX 2483 KachelY + 1 604 0.66728164 1.35336488 38.232422 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 2484 KachelY + 1 604 0.66881562 1.35336488 38.320312 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35369555-1.35336488) × R
    0.000330670000000088 × 6371000     		dl = 2106.69857000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35369555-1.35336488) × R
    0.000330670000000088 × 6371000     		dr = 2106.69857000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66728164-0.66881562) × cos(1.35369555) × R
    0.00153398000000005 × 0.215399365350259 × 6371000     		do = 2105.09510690866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66728164-0.66881562) × cos(1.35336488) × R
    0.00153398000000005 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 2108.2507660113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35369555)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215399365350259-0.215722261434972)×R²
    abs(0.66881562-0.66728164)×0.000322896084712698×R²
    0.00153398000000005×0.000322896084712698×6371000²
    0.00153398000000005×0.000322896084712698×40589641000000     		ar = 4438124.90314304m²