Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24829 / 41690
↖ ↑ ↗
← S 43.937462°
W 43.610229°		 ← 439.83 m → S 43.937462°
W 43.604736°		 →
↑
439.85 m
↓
↑
439.85 m
↓
S 43.941417°
W 43.610229°		 ← 439.80 m →
193 453 m²		 S 43.941417°
W 43.604736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378868103027344 y=0.636146545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378868103027344 × 216)
    floor (0.378868103027344 × 65536)
    floor (24829.5)     		tx = 24829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636146545410156 × 216)
    floor (0.636146545410156 × 65536)
    floor (41690.5)     		ty = 41690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24829 / 41690 ti = "16/24829/41690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24829/41690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24829 ÷ 216
    24829 ÷ 65536     		x = 0.378860473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41690 ÷ 216
    41690 ÷ 65536     		y = 0.636138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378860473632812 × 2 - 1) × π
    -0.242279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76114209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.27227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.855386036820282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76114209} λ = -0.76114209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855386036820282))-π/2
    2×atan(0.425119047796184)-π/2
    2×0.401971477673802-π/2
    0.803942955347603-1.57079632675     		φ = -0.76685337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76114209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.610229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76685337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.937462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24829 KachelY 41690 -0.76114209 -0.76685337 -43.610229 -43.937462
    Oben rechts KachelX + 1 24830 KachelY 41690 -0.76104622 -0.76685337 -43.604736 -43.937462
    Unten links KachelX 24829 KachelY + 1 41691 -0.76114209 -0.76692241 -43.610229 -43.941417
    Unten rechts KachelX + 1 24830 KachelY + 1 41691 -0.76104622 -0.76692241 -43.604736 -43.941417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76685337--0.76692241) × R
    6.90400000000757e-05 × 6371000     		dl = 439.853840000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76685337--0.76692241) × R
    6.90400000000757e-05 × 6371000     		dr = 439.853840000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76114209--0.76104622) × cos(-0.76685337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720097591907635 × 6371000     		do = 439.826802343625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76114209--0.76104622) × cos(-0.76692241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720049685213602 × 6371000     		du = 439.797541520808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76685337)-sin(-0.76692241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720097591907635-0.720049685213602)×R²
    abs(-0.76104622--0.76114209)×4.79066940328732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79066940328732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79066940328732e-05×40589641000000     		ar = 193453.072780393m²