Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24828 / 41685
↖ ↑ ↗
← S 43.917680°
W 43.615723°		 ← 440.02 m → S 43.917680°
W 43.610229°		 →
↑
439.98 m
↓
↑
439.98 m
↓
S 43.921637°
W 43.615723°		 ← 439.99 m →
193 594 m²		 S 43.921637°
W 43.610229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378852844238281 y=0.636070251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378852844238281 × 216)
    floor (0.378852844238281 × 65536)
    floor (24828.5)     		tx = 24828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636070251464844 × 216)
    floor (0.636070251464844 × 65536)
    floor (41685.5)     		ty = 41685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24828 / 41685 ti = "16/24828/41685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24828/41685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24828 ÷ 216
    24828 ÷ 65536     		x = 0.37884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41685 ÷ 216
    41685 ÷ 65536     		y = 0.636062622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636062622070312 × 2 - 1) × π
    -0.272125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854906667824081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76123797} λ = -0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854906667824081))-π/2
    2×atan(0.425322885540236)-π/2
    2×0.402144102607789-π/2
    0.804288205215578-1.57079632675     		φ = -0.76650812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76650812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.917680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24828 KachelY 41685 -0.76123797 -0.76650812 -43.615723 -43.917680
    Oben rechts KachelX + 1 24829 KachelY 41685 -0.76114209 -0.76650812 -43.610229 -43.917680
    Unten links KachelX 24828 KachelY + 1 41686 -0.76123797 -0.76657718 -43.615723 -43.921637
    Unten rechts KachelX + 1 24829 KachelY + 1 41686 -0.76114209 -0.76657718 -43.610229 -43.921637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76650812--0.76657718) × R
    6.90599999999542e-05 × 6371000     		dl = 439.981259999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76650812--0.76657718) × R
    6.90599999999542e-05 × 6371000     		dr = 439.981259999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76123797--0.76114209) × cos(-0.76650812) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.72033710856903 × 6371000     		do = 440.018988868533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76123797--0.76114209) × cos(-0.76657718) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720289205168093 × 6371000     		du = 439.989727005174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76650812)-sin(-0.76657718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72033710856903-0.720289205168093)×R²
    abs(-0.76114209--0.76123797)×4.79034009371881e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79034009371881e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79034009371881e-05×40589641000000     		ar = 193593.671887058m²