Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24828 / 41681
↖ ↑ ↗
← S 43.901851°
W 43.615723°		 ← 440.14 m → S 43.901851°
W 43.610229°		 →
↑
440.11 m
↓
↑
440.11 m
↓
S 43.905809°
W 43.615723°		 ← 440.11 m →
193 701 m²		 S 43.905809°
W 43.610229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378852844238281 y=0.636009216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378852844238281 × 216)
    floor (0.378852844238281 × 65536)
    floor (24828.5)     		tx = 24828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636009216308594 × 216)
    floor (0.636009216308594 × 65536)
    floor (41681.5)     		ty = 41681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24828 / 41681 ti = "16/24828/41681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24828/41681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24828 ÷ 216
    24828 ÷ 65536     		x = 0.37884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41681 ÷ 216
    41681 ÷ 65536     		y = 0.636001586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636001586914062 × 2 - 1) × π
    -0.272003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.854523172627121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76123797} λ = -0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854523172627121))-π/2
    2×atan(0.42548602610381)-π/2
    2×0.402282243888567-π/2
    0.804564487777135-1.57079632675     		φ = -0.76623184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76623184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.901851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24828 KachelY 41681 -0.76123797 -0.76623184 -43.615723 -43.901851
    Oben rechts KachelX + 1 24829 KachelY 41681 -0.76114209 -0.76623184 -43.610229 -43.901851
    Unten links KachelX 24828 KachelY + 1 41682 -0.76123797 -0.76630092 -43.615723 -43.905809
    Unten rechts KachelX + 1 24829 KachelY + 1 41682 -0.76114209 -0.76630092 -43.610229 -43.905809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76623184--0.76630092) × R
    6.90800000000547e-05 × 6371000     		dl = 440.108680000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76623184--0.76630092) × R
    6.90800000000547e-05 × 6371000     		dr = 440.108680000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76123797--0.76114209) × cos(-0.76623184) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720528715552579 × 6371000     		do = 440.136032278013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76123797--0.76114209) × cos(-0.76630092) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720480812027473 × 6371000     		du = 440.106770338805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76623184)-sin(-0.76630092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720528715552579-0.720480812027473)×R²
    abs(-0.76114209--0.76123797)×4.79035251057525e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79035251057525e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79035251057525e-05×40589641000000     		ar = 193701.249046697m²