Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24827 / 29171
↖ ↑ ↗
← N 19.378523°
W 43.621216°		 ← 576.18 m → N 19.378523°
W 43.615723°		 →
↑
576.26 m
↓
↑
576.26 m
↓
N 19.373341°
W 43.621216°		 ← 576.20 m →
332 036 m²		 N 19.373341°
W 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378837585449219 y=0.445121765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378837585449219 × 216)
    floor (0.378837585449219 × 65536)
    floor (24827.5)     		tx = 24827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445121765136719 × 216)
    floor (0.445121765136719 × 65536)
    floor (29171.5)     		ty = 29171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24827 / 29171 ti = "16/24827/29171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24827/29171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24827 ÷ 216
    24827 ÷ 65536     		x = 0.378829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29171 ÷ 216
    29171 ÷ 65536     		y = 0.445114135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.242340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76133384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445114135742188 × 2 - 1) × π
    0.109771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.344858055866684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76133384} λ = -0.76133384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344858055866684))-π/2
    2×atan(1.41178951020607)-π/2
    2×0.954507676526787-π/2
    1.90901535305357-1.57079632675     		φ = 0.33821903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76133384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33821903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.378523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24827 KachelY 29171 -0.76133384 0.33821903 -43.621216 19.378523
    Oben rechts KachelX + 1 24828 KachelY 29171 -0.76123797 0.33821903 -43.615723 19.378523
    Unten links KachelX 24827 KachelY + 1 29172 -0.76133384 0.33812858 -43.621216 19.373341
    Unten rechts KachelX + 1 24828 KachelY + 1 29172 -0.76123797 0.33812858 -43.615723 19.373341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33821903-0.33812858) × R
    9.04499999999642e-05 × 6371000     		dl = 576.256949999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33821903-0.33812858) × R
    9.04499999999642e-05 × 6371000     		dr = 576.256949999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76133384--0.76123797) × cos(0.33821903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94334710058111 × 6371000     		do = 576.184871899889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76133384--0.76123797) × cos(0.33812858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943377108714781 × 6371000     		du = 576.203200500936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33821903)-sin(0.33812858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94334710058111-0.943377108714781)×R²
    abs(-0.76123797--0.76133384)×3.00081336710445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00081336710445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00081336710445e-05×40589641000000     		ar = 332035.818135248m²