Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24825 / 41626
↖ ↑ ↗
← S 43.683763°
W 43.632202°		 ← 441.75 m → S 43.683763°
W 43.626709°		 →
↑
441.70 m
↓
↑
441.70 m
↓
S 43.687736°
W 43.632202°		 ← 441.72 m →
195 113 m²		 S 43.687736°
W 43.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378807067871094 y=0.635169982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378807067871094 × 216)
    floor (0.378807067871094 × 65536)
    floor (24825.5)     		tx = 24825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635169982910156 × 216)
    floor (0.635169982910156 × 65536)
    floor (41626.5)     		ty = 41626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24825 / 41626 ti = "16/24825/41626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24825/41626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24825 ÷ 216
    24825 ÷ 65536     		x = 0.378799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41626 ÷ 216
    41626 ÷ 65536     		y = 0.635162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.242401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76152559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.27032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849250113668915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76152559} λ = -0.76152559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849250113668915))-π/2
    2×atan(0.427735564767956)-π/2
    2×0.404185411825639-π/2
    0.808370823651278-1.57079632675     		φ = -0.76242550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76152559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.632202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76242550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.683763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24825 KachelY 41626 -0.76152559 -0.76242550 -43.632202 -43.683763
    Oben rechts KachelX + 1 24826 KachelY 41626 -0.76142971 -0.76242550 -43.626709 -43.683763
    Unten links KachelX 24825 KachelY + 1 41627 -0.76152559 -0.76249483 -43.632202 -43.687736
    Unten rechts KachelX + 1 24826 KachelY + 1 41627 -0.76142971 -0.76249483 -43.626709 -43.687736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76242550--0.76249483) × R
    6.93299999999786e-05 × 6371000     		dl = 441.701429999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76242550--0.76249483) × R
    6.93299999999786e-05 × 6371000     		dr = 441.701429999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76152559--0.76142971) × cos(-0.76242550) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723162901291906 × 6371000     		do = 441.745128534965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76152559--0.76142971) × cos(-0.76249483) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723115014882413 × 6371000     		du = 441.715877050854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76242550)-sin(-0.76249483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723162901291906-0.723115014882413)×R²
    abs(-0.76142971--0.76152559)×4.78864094928255e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78864094928255e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78864094928255e-05×40589641000000     		ar = 195112.994836253m²