Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24824 / 41622
↖ ↑ ↗
← S 43.667872°
W 43.637695°		 ← 441.82 m → S 43.667872°
W 43.632202°		 →
↑
441.83 m
↓
↑
441.83 m
↓
S 43.671845°
W 43.637695°		 ← 441.79 m →
195 201 m²		 S 43.671845°
W 43.632202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378791809082031 y=0.635108947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378791809082031 × 216)
    floor (0.378791809082031 × 65536)
    floor (24824.5)     		tx = 24824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635108947753906 × 216)
    floor (0.635108947753906 × 65536)
    floor (41622.5)     		ty = 41622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24824 / 41622 ti = "16/24824/41622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24824/41622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24824 ÷ 216
    24824 ÷ 65536     		x = 0.3787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41622 ÷ 216
    41622 ÷ 65536     		y = 0.635101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.27020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.848866618471954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76162146} λ = -0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848866618471954))-π/2
    2×atan(0.427899630759863)-π/2
    2×0.40432409493887-π/2
    0.808648189877739-1.57079632675     		φ = -0.76214814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76214814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.667872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24824 KachelY 41622 -0.76162146 -0.76214814 -43.637695 -43.667872
    Oben rechts KachelX + 1 24825 KachelY 41622 -0.76152559 -0.76214814 -43.632202 -43.667872
    Unten links KachelX 24824 KachelY + 1 41623 -0.76162146 -0.76221749 -43.637695 -43.671845
    Unten rechts KachelX + 1 24825 KachelY + 1 41623 -0.76152559 -0.76221749 -43.632202 -43.671845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76214814--0.76221749) × R
    6.93500000000791e-05 × 6371000     		dl = 441.828850000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76214814--0.76221749) × R
    6.93500000000791e-05 × 6371000     		dr = 441.828850000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76162146--0.76152559) × cos(-0.76214814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723354439786751 × 6371000     		do = 441.816045196939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76162146--0.76152559) × cos(-0.76221749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723306553474065 × 6371000     		du = 441.7867968228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76214814)-sin(-0.76221749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723354439786751-0.723306553474065)×R²
    abs(-0.76152559--0.76162146)×4.78863126867068e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78863126867068e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78863126867068e-05×40589641000000     		ar = 195200.613851767m²