Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24824 / 40696
↖ ↑ ↗
← S 39.876019°
W 43.637695°		 ← 468.74 m → S 39.876019°
W 43.632202°		 →
↑
468.78 m
↓
↑
468.78 m
↓
S 39.880235°
W 43.637695°		 ← 468.71 m →
219 728 m²		 S 39.880235°
W 43.632202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378791809082031 y=0.620979309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378791809082031 × 216)
    floor (0.378791809082031 × 65536)
    floor (24824.5)     		tx = 24824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620979309082031 × 216)
    floor (0.620979309082031 × 65536)
    floor (40696.5)     		ty = 40696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24824 / 40696 ti = "16/24824/40696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24824/40696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24824 ÷ 216
    24824 ÷ 65536     		x = 0.3787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40696 ÷ 216
    40696 ÷ 65536     		y = 0.6209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.76008748037561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76162146} λ = -0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76008748037561))-π/2
    2×atan(0.467625517164644)-π/2
    2×0.437414247674991-π/2
    0.874828495349982-1.57079632675     		φ = -0.69596783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69596783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.876019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24824 KachelY 40696 -0.76162146 -0.69596783 -43.637695 -39.876019
    Oben rechts KachelX + 1 24825 KachelY 40696 -0.76152559 -0.69596783 -43.632202 -39.876019
    Unten links KachelX 24824 KachelY + 1 40697 -0.76162146 -0.69604141 -43.637695 -39.880235
    Unten rechts KachelX + 1 24825 KachelY + 1 40697 -0.76152559 -0.69604141 -43.632202 -39.880235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69596783--0.69604141) × R
    7.35800000000175e-05 × 6371000     		dl = 468.778180000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69596783--0.69604141) × R
    7.35800000000175e-05 × 6371000     		dr = 468.778180000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76162146--0.76152559) × cos(-0.69596783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767433557932917 × 6371000     		do = 468.739031473002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76162146--0.76152559) × cos(-0.69604141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767386381621591 × 6371000     		du = 468.710216759011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69596783)-sin(-0.69604141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767433557932917-0.767386381621591)×R²
    abs(-0.76152559--0.76162146)×4.71763113257806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71763113257806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71763113257806e-05×40589641000000     		ar = 219727.876313553m²