Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24822 / 42254
↖ ↑ ↗
← S 46.126556°
W 43.648682°		 ← 423.36 m → S 46.126556°
W 43.643188°		 →
↑
423.29 m
↓
↑
423.29 m
↓
S 46.130363°
W 43.648682°		 ← 423.33 m →
179 198 m²		 S 46.130363°
W 43.643188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378761291503906 y=0.644752502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378761291503906 × 216)
    floor (0.378761291503906 × 65536)
    floor (24822.5)     		tx = 24822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644752502441406 × 216)
    floor (0.644752502441406 × 65536)
    floor (42254.5)     		ty = 42254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24822 / 42254 ti = "16/24822/42254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24822/42254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24822 ÷ 216
    24822 ÷ 65536     		x = 0.378753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42254 ÷ 216
    42254 ÷ 65536     		y = 0.644744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76181321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.28948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.909458859591705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76181321} λ = -0.76181321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909458859591705))-π/2
    2×atan(0.402742105103387)-π/2
    2×0.382868023364584-π/2
    0.765736046729168-1.57079632675     		φ = -0.80506028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76181321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80506028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.126556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24822 KachelY 42254 -0.76181321 -0.80506028 -43.648682 -46.126556
    Oben rechts KachelX + 1 24823 KachelY 42254 -0.76171733 -0.80506028 -43.643188 -46.126556
    Unten links KachelX 24822 KachelY + 1 42255 -0.76181321 -0.80512672 -43.648682 -46.130363
    Unten rechts KachelX + 1 24823 KachelY + 1 42255 -0.76171733 -0.80512672 -43.643188 -46.130363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80506028--0.80512672) × R
    6.64400000000009e-05 × 6371000     		dl = 423.289240000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80506028--0.80512672) × R
    6.64400000000009e-05 × 6371000     		dr = 423.289240000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76181321--0.76171733) × cos(-0.80506028) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.693067782091439 × 6371000     		do = 423.361480431086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76181321--0.76171733) × cos(-0.80512672) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.693019885798032 × 6371000     		du = 423.332222909372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80506028)-sin(-0.80512672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693067782091439-0.693019885798032)×R²
    abs(-0.76171733--0.76181321)×4.78962934067351e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78962934067351e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78962934067351e-05×40589641000000     		ar = 179198.16716587m²