Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24819 / 8489
↖ ↑ ↗
← N 65.178418°
E 92.669678°		 ← 512.84 m → N 65.178418°
E 92.680664°		 →
↑
512.87 m
↓
↑
512.87 m
↓
N 65.173806°
E 92.669678°		 ← 512.93 m →
263 039 m²		 N 65.173806°
E 92.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757431030273438 y=0.259078979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757431030273438 × 215)
    floor (0.757431030273438 × 32768)
    floor (24819.5)     		tx = 24819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259078979492188 × 215)
    floor (0.259078979492188 × 32768)
    floor (8489.5)     		ty = 8489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24819 / 8489 ti = "15/24819/8489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24819/8489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24819 ÷ 215
    24819 ÷ 32768     		x = 0.757415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8489 ÷ 215
    8489 ÷ 32768     		y = 0.259063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757415771484375 × 2 - 1) × π
    0.51483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61739099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259063720703125 × 2 - 1) × π
    0.48187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51384729000137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61739099} λ = 1.61739099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51384729000137))-π/2
    2×atan(4.54417998496344)-π/2
    2×1.35418716524567-π/2
    2.70837433049134-1.57079632675     		φ = 1.13757800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61739099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.669678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13757800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.178418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24819 KachelY 8489 1.61739099 1.13757800 92.669678 65.178418
    Oben rechts KachelX + 1 24820 KachelY 8489 1.61758274 1.13757800 92.680664 65.178418
    Unten links KachelX 24819 KachelY + 1 8490 1.61739099 1.13749750 92.669678 65.173806
    Unten rechts KachelX + 1 24820 KachelY + 1 8490 1.61758274 1.13749750 92.680664 65.173806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13757800-1.13749750) × R
    8.04999999999279e-05 × 6371000     		dl = 512.86549999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13757800-1.13749750) × R
    8.04999999999279e-05 × 6371000     		dr = 512.86549999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61739099-1.61758274) × cos(1.13757800) × R
    0.000191749999999935 × 0.419793987312739 × 6371000     		do = 512.83681181507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61739099-1.61758274) × cos(1.13749750) × R
    0.000191749999999935 × 0.419867049315637 × 6371000     		du = 512.926067225494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13757800)-sin(1.13749750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419793987312739-0.419867049315637)×R²
    abs(1.61758274-1.61739099)×7.30620028976947e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30620028976947e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30620028976947e-05×40589641000000     		ar = 263039.196061996m²