Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24817 / 42289
↖ ↑ ↗
← S 46.259645°
W 43.676148°		 ← 422.34 m → S 46.259645°
W 43.670654°		 →
↑
422.33 m
↓
↑
422.33 m
↓
S 46.263443°
W 43.676148°		 ← 422.31 m →
178 361 m²		 S 46.263443°
W 43.670654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378684997558594 y=0.645286560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378684997558594 × 216)
    floor (0.378684997558594 × 65536)
    floor (24817.5)     		tx = 24817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645286560058594 × 216)
    floor (0.645286560058594 × 65536)
    floor (42289.5)     		ty = 42289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24817 / 42289 ti = "16/24817/42289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24817/42289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24817 ÷ 216
    24817 ÷ 65536     		x = 0.378677368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42289 ÷ 216
    42289 ÷ 65536     		y = 0.645278930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.242645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76229258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645278930664062 × 2 - 1) × π
    -0.290557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.912814442565109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76229258} λ = -0.76229258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912814442565109))-π/2
    2×atan(0.401392935444161)-π/2
    2×0.381706606455898-π/2
    0.763413212911796-1.57079632675     		φ = -0.80738311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76229258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.676148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80738311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.259645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24817 KachelY 42289 -0.76229258 -0.80738311 -43.676148 -46.259645
    Oben rechts KachelX + 1 24818 KachelY 42289 -0.76219670 -0.80738311 -43.670654 -46.259645
    Unten links KachelX 24817 KachelY + 1 42290 -0.76229258 -0.80744940 -43.676148 -46.263443
    Unten rechts KachelX + 1 24818 KachelY + 1 42290 -0.76219670 -0.80744940 -43.670654 -46.263443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80738311--0.80744940) × R
    6.62900000000244e-05 × 6371000     		dl = 422.333590000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80738311--0.80744940) × R
    6.62900000000244e-05 × 6371000     		dr = 422.333590000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76229258--0.76219670) × cos(-0.80738311) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.691391449771852 × 6371000     		do = 422.337490352693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76229258--0.76219670) × cos(-0.80744940) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.691343555030049 × 6371000     		du = 422.308233778779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80738311)-sin(-0.80744940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691391449771852-0.691343555030049)×R²
    abs(-0.76219670--0.76229258)×4.78947418025566e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78947418025566e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78947418025566e-05×40589641000000     		ar = 178361.130540913m²