Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24816 / 42288
↖ ↑ ↗
← S 46.255847°
W 43.681641°		 ← 422.32 m → S 46.255847°
W 43.676148°		 →
↑
422.27 m
↓
↑
422.27 m
↓
S 46.259645°
W 43.681641°		 ← 422.29 m →
178 328 m²		 S 46.259645°
W 43.676148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378669738769531 y=0.645271301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378669738769531 × 216)
    floor (0.378669738769531 × 65536)
    floor (24816.5)     		tx = 24816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645271301269531 × 216)
    floor (0.645271301269531 × 65536)
    floor (42288.5)     		ty = 42288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24816 / 42288 ti = "16/24816/42288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24816/42288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24816 ÷ 216
    24816 ÷ 65536     		x = 0.378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42288 ÷ 216
    42288 ÷ 65536     		y = 0.645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.29052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912718568765869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76238845} λ = -0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912718568765869))-π/2
    2×atan(0.401431420354688)-π/2
    2×0.381739750766154-π/2
    0.763479501532309-1.57079632675     		φ = -0.80731683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80731683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.255847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24816 KachelY 42288 -0.76238845 -0.80731683 -43.681641 -46.255847
    Oben rechts KachelX + 1 24817 KachelY 42288 -0.76229258 -0.80731683 -43.676148 -46.255847
    Unten links KachelX 24816 KachelY + 1 42289 -0.76238845 -0.80738311 -43.681641 -46.259645
    Unten rechts KachelX + 1 24817 KachelY + 1 42289 -0.76229258 -0.80738311 -43.676148 -46.259645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80731683--0.80738311) × R
    6.62799999999741e-05 × 6371000     		dl = 422.269879999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80731683--0.80738311) × R
    6.62799999999741e-05 × 6371000     		dr = 422.269879999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76238845--0.76229258) × cos(-0.80731683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691439334251083 × 6371000     		do = 422.322689057494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76238845--0.76229258) × cos(-0.80738311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691391449771852 × 6371000     		du = 422.293441803207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80731683)-sin(-0.80738311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691439334251083-0.691391449771852)×R²
    abs(-0.76229258--0.76238845)×4.78844792315414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78844792315414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78844792315414e-05×40589641000000     		ar = 178327.976177369m²