Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24812 / 41389
↖ ↑ ↗
← S 42.734909°
W 43.703613°		 ← 448.67 m → S 42.734909°
W 43.698120°		 →
↑
448.65 m
↓
↑
448.65 m
↓
S 42.738944°
W 43.703613°		 ← 448.64 m →
201 288 m²		 S 42.738944°
W 43.698120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378608703613281 y=0.631553649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378608703613281 × 216)
    floor (0.378608703613281 × 65536)
    floor (24812.5)     		tx = 24812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631553649902344 × 216)
    floor (0.631553649902344 × 65536)
    floor (41389.5)     		ty = 41389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24812 / 41389 ti = "16/24812/41389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24812/41389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24812 ÷ 216
    24812 ÷ 65536     		x = 0.37860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41389 ÷ 216
    41389 ÷ 65536     		y = 0.631546020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76277195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631546020507812 × 2 - 1) × π
    -0.263092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.826528023249008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76277195} λ = -0.76277195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826528023249008))-π/2
    2×atan(0.437565870555043)-π/2
    2×0.412465728332456-π/2
    0.824931456664911-1.57079632675     		φ = -0.74586487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76277195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74586487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.734909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24812 KachelY 41389 -0.76277195 -0.74586487 -43.703613 -42.734909
    Oben rechts KachelX + 1 24813 KachelY 41389 -0.76267607 -0.74586487 -43.698120 -42.734909
    Unten links KachelX 24812 KachelY + 1 41390 -0.76277195 -0.74593529 -43.703613 -42.738944
    Unten rechts KachelX + 1 24813 KachelY + 1 41390 -0.76267607 -0.74593529 -43.698120 -42.738944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74586487--0.74593529) × R
    7.04200000000155e-05 × 6371000     		dl = 448.645820000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74586487--0.74593529) × R
    7.04200000000155e-05 × 6371000     		dr = 448.645820000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76277195--0.76267607) × cos(-0.74586487) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.73450127005183 × 6371000     		do = 448.671187872746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76277195--0.76267607) × cos(-0.74593529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.734453480703751 × 6371000     		du = 448.641995678744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74586487)-sin(-0.74593529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73450127005183-0.734453480703751)×R²
    abs(-0.76267607--0.76277195)×4.77893480791414e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77893480791414e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77893480791414e-05×40589641000000     		ar = 201287.90459924m²