Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24810 / 41666
↖ ↑ ↗
← S 43.842451°
W 43.714599°		 ← 440.53 m → S 43.842451°
W 43.709106°		 →
↑
440.55 m
↓
↑
440.55 m
↓
S 43.846413°
W 43.714599°		 ← 440.50 m →
194 071 m²		 S 43.846413°
W 43.709106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378578186035156 y=0.635780334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378578186035156 × 216)
    floor (0.378578186035156 × 65536)
    floor (24810.5)     		tx = 24810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635780334472656 × 216)
    floor (0.635780334472656 × 65536)
    floor (41666.5)     		ty = 41666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24810 / 41666 ti = "16/24810/41666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24810/41666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24810 ÷ 216
    24810 ÷ 65536     		x = 0.378570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41666 ÷ 216
    41666 ÷ 65536     		y = 0.635772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.24285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76296369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.27154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.853085065638519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76296369} λ = -0.76296369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.853085065638519))-π/2
    2×atan(0.426098360727319)-π/2
    2×0.402800600901835-π/2
    0.805601201803671-1.57079632675     		φ = -0.76519512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76296369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.714599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76519512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.842451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24810 KachelY 41666 -0.76296369 -0.76519512 -43.714599 -43.842451
    Oben rechts KachelX + 1 24811 KachelY 41666 -0.76286782 -0.76519512 -43.709106 -43.842451
    Unten links KachelX 24810 KachelY + 1 41667 -0.76296369 -0.76526427 -43.714599 -43.846413
    Unten rechts KachelX + 1 24811 KachelY + 1 41667 -0.76286782 -0.76526427 -43.709106 -43.846413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76519512--0.76526427) × R
    6.91499999999623e-05 × 6371000     		dl = 440.55464999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76519512--0.76526427) × R
    6.91499999999623e-05 × 6371000     		dr = 440.55464999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76296369--0.76286782) × cos(-0.76519512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721247215886136 × 6371000     		do = 440.528978609792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76296369--0.76286782) × cos(-0.76526427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721199315495948 × 6371000     		du = 440.499721637287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76519512)-sin(-0.76526427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721247215886136-0.721199315495948)×R²
    abs(-0.76286782--0.76296369)×4.79003901888708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79003901888708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79003901888708e-05×40589641000000     		ar = 194070.645415836m²