Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24806 / 40277
↖ ↑ ↗
← S 38.087013°
W 43.736572°		 ← 480.74 m → S 38.087013°
W 43.731079°		 →
↑
480.76 m
↓
↑
480.76 m
↓
S 38.091337°
W 43.736572°		 ← 480.71 m →
231 110 m²		 S 38.091337°
W 43.731079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378517150878906 y=0.614585876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378517150878906 × 216)
    floor (0.378517150878906 × 65536)
    floor (24806.5)     		tx = 24806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614585876464844 × 216)
    floor (0.614585876464844 × 65536)
    floor (40277.5)     		ty = 40277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24806 / 40277 ti = "16/24806/40277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24806/40277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24806 ÷ 216
    24806 ÷ 65536     		x = 0.378509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40277 ÷ 216
    40277 ÷ 65536     		y = 0.614578247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.24298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76334719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614578247070312 × 2 - 1) × π
    -0.229156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.719916358494003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76334719} λ = -0.76334719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719916358494003))-π/2
    2×atan(0.48679297035439)-π/2
    2×0.45302627207517-π/2
    0.906052544150341-1.57079632675     		φ = -0.66474378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76334719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66474378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.087013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24806 KachelY 40277 -0.76334719 -0.66474378 -43.736572 -38.087013
    Oben rechts KachelX + 1 24807 KachelY 40277 -0.76325132 -0.66474378 -43.731079 -38.087013
    Unten links KachelX 24806 KachelY + 1 40278 -0.76334719 -0.66481924 -43.736572 -38.091337
    Unten rechts KachelX + 1 24807 KachelY + 1 40278 -0.76325132 -0.66481924 -43.731079 -38.091337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66474378--0.66481924) × R
    7.54600000000272e-05 × 6371000     		dl = 480.755660000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66474378--0.66481924) × R
    7.54600000000272e-05 × 6371000     		dr = 480.755660000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76334719--0.76325132) × cos(-0.66474378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787074862187659 × 6371000     		do = 480.735699898647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76334719--0.76325132) × cos(-0.66481924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787028311880724 × 6371000     		du = 480.707267540481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66474378)-sin(-0.66481924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787074862187659-0.787028311880724)×R²
    abs(-0.76325132--0.76334719)×4.65503069352335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65503069352335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65503069352335e-05×40589641000000     		ar = 231109.574291667m²