Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24806 / 29222
↖ ↑ ↗
← N 19.114029°
W 43.736572°		 ← 577.11 m → N 19.114029°
W 43.731079°		 →
↑
577.15 m
↓
↑
577.15 m
↓
N 19.108839°
W 43.736572°		 ← 577.13 m →
333 086 m²		 N 19.108839°
W 43.731079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378517150878906 y=0.445899963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378517150878906 × 216)
    floor (0.378517150878906 × 65536)
    floor (24806.5)     		tx = 24806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445899963378906 × 216)
    floor (0.445899963378906 × 65536)
    floor (29222.5)     		ty = 29222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24806 / 29222 ti = "16/24806/29222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24806/29222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24806 ÷ 216
    24806 ÷ 65536     		x = 0.378509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29222 ÷ 216
    29222 ÷ 65536     		y = 0.445892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.24298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76334719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    0.10821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.339968492105438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76334719} λ = -0.76334719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339968492105438))-π/2
    2×atan(1.40490332432042)-π/2
    2×0.952199534961576-π/2
    1.90439906992315-1.57079632675     		φ = 0.33360274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76334719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33360274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.114029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24806 KachelY 29222 -0.76334719 0.33360274 -43.736572 19.114029
    Oben rechts KachelX + 1 24807 KachelY 29222 -0.76325132 0.33360274 -43.731079 19.114029
    Unten links KachelX 24806 KachelY + 1 29223 -0.76334719 0.33351215 -43.736572 19.108839
    Unten rechts KachelX + 1 24807 KachelY + 1 29223 -0.76325132 0.33351215 -43.731079 19.108839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33360274-0.33351215) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dl = 577.14889000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33360274-0.33351215) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dr = 577.14889000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76334719--0.76325132) × cos(0.33360274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944868763590724 × 6371000     		do = 577.114285056223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76334719--0.76325132) × cos(0.33351215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944898423342329 × 6371000     		du = 577.132400869765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33360274)-sin(0.33351215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944868763590724-0.944898423342329)×R²
    abs(-0.76325132--0.76334719)×2.96597516047381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96597516047381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96597516047381e-05×40589641000000     		ar = 333086.097012149m²