Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24805 / 40229
↖ ↑ ↗
← S 37.879189°
W 43.742065°		 ← 482.10 m → S 37.879189°
W 43.736572°		 →
↑
482.09 m
↓
↑
482.09 m
↓
S 37.883525°
W 43.742065°		 ← 482.07 m →
232 410 m²		 S 37.883525°
W 43.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378501892089844 y=0.613853454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378501892089844 × 216)
    floor (0.378501892089844 × 65536)
    floor (24805.5)     		tx = 24805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613853454589844 × 216)
    floor (0.613853454589844 × 65536)
    floor (40229.5)     		ty = 40229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24805 / 40229 ti = "16/24805/40229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24805/40229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24805 ÷ 216
    24805 ÷ 65536     		x = 0.378494262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40229 ÷ 216
    40229 ÷ 65536     		y = 0.613845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378494262695312 × 2 - 1) × π
    -0.243011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76344306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613845825195312 × 2 - 1) × π
    -0.227691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.715314416130478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76344306} λ = -0.76344306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715314416130478))-π/2
    2×atan(0.489038326083102)-π/2
    2×0.454839877640615-π/2
    0.909679755281231-1.57079632675     		φ = -0.66111657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76344306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.742065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66111657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.879189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24805 KachelY 40229 -0.76344306 -0.66111657 -43.742065 -37.879189
    Oben rechts KachelX + 1 24806 KachelY 40229 -0.76334719 -0.66111657 -43.736572 -37.879189
    Unten links KachelX 24805 KachelY + 1 40230 -0.76344306 -0.66119224 -43.742065 -37.883525
    Unten rechts KachelX + 1 24806 KachelY + 1 40230 -0.76334719 -0.66119224 -43.736572 -37.883525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66111657--0.66119224) × R
    7.56699999999721e-05 × 6371000     		dl = 482.093569999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66111657--0.66119224) × R
    7.56699999999721e-05 × 6371000     		dr = 482.093569999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76344306--0.76334719) × cos(-0.66111657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789307151303317 × 6371000     		do = 482.099154789595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76344306--0.76334719) × cos(-0.66119224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789260687773224 × 6371000     		du = 482.070775433663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66111657)-sin(-0.66119224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789307151303317-0.789260687773224)×R²
    abs(-0.76334719--0.76344306)×4.64635300927441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64635300927441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64635300927441e-05×40589641000000     		ar = 232410.061984741m²