Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24803 / 40276
↖ ↑ ↗
← S 38.082690°
W 43.753052°		 ← 480.76 m → S 38.082690°
W 43.747559°		 →
↑
480.76 m
↓
↑
480.76 m
↓
S 38.087013°
W 43.753052°		 ← 480.74 m →
231 123 m²		 S 38.087013°
W 43.747559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378471374511719 y=0.614570617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378471374511719 × 216)
    floor (0.378471374511719 × 65536)
    floor (24803.5)     		tx = 24803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614570617675781 × 216)
    floor (0.614570617675781 × 65536)
    floor (40276.5)     		ty = 40276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24803 / 40276 ti = "16/24803/40276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24803/40276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24803 ÷ 216
    24803 ÷ 65536     		x = 0.378463745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40276 ÷ 216
    40276 ÷ 65536     		y = 0.61456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378463745117188 × 2 - 1) × π
    -0.243072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76363481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.719820484694763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76363481} λ = -0.76363481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719820484694763))-π/2
    2×atan(0.486839643283221)-π/2
    2×0.453064003119423-π/2
    0.906128006238847-1.57079632675     		φ = -0.66466832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76363481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.753052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66466832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.082690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24803 KachelY 40276 -0.76363481 -0.66466832 -43.753052 -38.082690
    Oben rechts KachelX + 1 24804 KachelY 40276 -0.76353894 -0.66466832 -43.747559 -38.082690
    Unten links KachelX 24803 KachelY + 1 40277 -0.76363481 -0.66474378 -43.753052 -38.087013
    Unten rechts KachelX + 1 24804 KachelY + 1 40277 -0.76353894 -0.66474378 -43.747559 -38.087013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66466832--0.66474378) × R
    7.54600000000272e-05 × 6371000     		dl = 480.755660000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66466832--0.66474378) × R
    7.54600000000272e-05 × 6371000     		dr = 480.755660000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76363481--0.76353894) × cos(-0.66466832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787121408012824 × 6371000     		do = 480.764129519402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76363481--0.76353894) × cos(-0.66474378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787074862187659 × 6371000     		du = 480.735699898647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66466832)-sin(-0.66474378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787121408012824-0.787074862187659)×R²
    abs(-0.76353894--0.76363481)×4.65458251645012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65458251645012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65458251645012e-05×40589641000000     		ar = 231123.242650734m²