Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24802 / 41571
↖ ↑ ↗
← S 43.464881°
W 43.758545°		 ← 443.31 m → S 43.464881°
W 43.753052°		 →
↑
443.29 m
↓
↑
443.29 m
↓
S 43.468868°
W 43.758545°		 ← 443.28 m →
196 509 m²		 S 43.468868°
W 43.753052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378456115722656 y=0.634330749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378456115722656 × 216)
    floor (0.378456115722656 × 65536)
    floor (24802.5)     		tx = 24802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634330749511719 × 216)
    floor (0.634330749511719 × 65536)
    floor (41571.5)     		ty = 41571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24802 / 41571 ti = "16/24802/41571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24802/41571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24802 ÷ 216
    24802 ÷ 65536     		x = 0.378448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41571 ÷ 216
    41571 ÷ 65536     		y = 0.634323120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.24310302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76373068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634323120117188 × 2 - 1) × π
    -0.268646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.843977054710709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76373068} λ = -0.76373068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843977054710709))-π/2
    2×atan(0.429996996711531)-π/2
    2×0.406095523680311-π/2
    0.812191047360622-1.57079632675     		φ = -0.75860528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76373068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.758545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75860528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.464881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24802 KachelY 41571 -0.76373068 -0.75860528 -43.758545 -43.464881
    Oben rechts KachelX + 1 24803 KachelY 41571 -0.76363481 -0.75860528 -43.753052 -43.464881
    Unten links KachelX 24802 KachelY + 1 41572 -0.76373068 -0.75867486 -43.758545 -43.468868
    Unten rechts KachelX + 1 24803 KachelY + 1 41572 -0.76363481 -0.75867486 -43.753052 -43.468868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75860528--0.75867486) × R
    6.95799999999025e-05 × 6371000     		dl = 443.294179999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75860528--0.75867486) × R
    6.95799999999025e-05 × 6371000     		dr = 443.294179999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76373068--0.76363481) × cos(-0.75860528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725796157956022 × 6371000     		do = 443.307416792517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76373068--0.76363481) × cos(-0.75867486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725748291433017 × 6371000     		du = 443.278180505673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75860528)-sin(-0.75867486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725796157956022-0.725748291433017)×R²
    abs(-0.76363481--0.76373068)×4.78665230048136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78665230048136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78665230048136e-05×40589641000000     		ar = 196509.117756015m²