Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24801 / 40279
↖ ↑ ↗
← S 38.095660°
W 43.764038°		 ← 480.73 m → S 38.095660°
W 43.758545°		 →
↑
480.69 m
↓
↑
480.69 m
↓
S 38.099983°
W 43.764038°		 ← 480.70 m →
231 076 m²		 S 38.099983°
W 43.758545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378440856933594 y=0.614616394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378440856933594 × 216)
    floor (0.378440856933594 × 65536)
    floor (24801.5)     		tx = 24801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614616394042969 × 216)
    floor (0.614616394042969 × 65536)
    floor (40279.5)     		ty = 40279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24801 / 40279 ti = "16/24801/40279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24801/40279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24801 ÷ 216
    24801 ÷ 65536     		x = 0.378433227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40279 ÷ 216
    40279 ÷ 65536     		y = 0.614608764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.243133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76382656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614608764648438 × 2 - 1) × π
    -0.229217529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.720108106092484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76382656} λ = -0.76382656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720108106092484))-π/2
    2×atan(0.486699637919789)-π/2
    2×0.452950816680844-π/2
    0.905901633361689-1.57079632675     		φ = -0.66489469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76382656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.764038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66489469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.095660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24801 KachelY 40279 -0.76382656 -0.66489469 -43.764038 -38.095660
    Oben rechts KachelX + 1 24802 KachelY 40279 -0.76373068 -0.66489469 -43.758545 -38.095660
    Unten links KachelX 24801 KachelY + 1 40280 -0.76382656 -0.66497014 -43.764038 -38.099983
    Unten rechts KachelX + 1 24802 KachelY + 1 40280 -0.76373068 -0.66497014 -43.758545 -38.099983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66489469--0.66497014) × R
    7.54499999999769e-05 × 6371000     		dl = 480.691949999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66489469--0.66497014) × R
    7.54499999999769e-05 × 6371000     		dr = 480.691949999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76382656--0.76373068) × cos(-0.66489469) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.786981763262045 × 6371000     		do = 480.728974821871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76382656--0.76373068) × cos(-0.66497014) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.786935210163314 × 6371000     		du = 480.700537792613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66489469)-sin(-0.66497014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786981763262045-0.786935210163314)×R²
    abs(-0.76373068--0.76382656)×4.65530987313612e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65530987313612e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65530987313612e-05×40589641000000     		ar = 231075.713712825m²