Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24801 / 25695
↖ ↑ ↗
← S 70.956113°
E 92.471924°		 ← 398.59 m → S 70.956113°
E 92.482910°		 →
↑
398.57 m
↓
↑
398.57 m
↓
S 70.959697°
E 92.471924°		 ← 398.52 m →
158 852 m²		 S 70.959697°
E 92.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756881713867188 y=0.784164428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756881713867188 × 215)
    floor (0.756881713867188 × 32768)
    floor (24801.5)     		tx = 24801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784164428710938 × 215)
    floor (0.784164428710938 × 32768)
    floor (25695.5)     		ty = 25695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24801 / 25695 ti = "15/24801/25695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24801/25695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24801 ÷ 215
    24801 ÷ 32768     		x = 0.756866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25695 ÷ 215
    25695 ÷ 32768     		y = 0.784149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756866455078125 × 2 - 1) × π
    0.51373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61393954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.56829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78536188944937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61393954} λ = 1.61393954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78536188944937))-π/2
    2×atan(0.167736348000534)-π/2
    2×0.166189267563835-π/2
    0.33237853512767-1.57079632675     		φ = -1.23841779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61393954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.471924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23841779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.956113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24801 KachelY 25695 1.61393954 -1.23841779 92.471924 -70.956113
    Oben rechts KachelX + 1 24802 KachelY 25695 1.61413128 -1.23841779 92.482910 -70.956113
    Unten links KachelX 24801 KachelY + 1 25696 1.61393954 -1.23848035 92.471924 -70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 24802 KachelY + 1 25696 1.61413128 -1.23848035 92.482910 -70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23841779--1.23848035) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dl = 398.569759999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23841779--1.23848035) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dr = 398.569759999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61393954-1.61413128) × cos(-1.23841779) × R
    0.000191739999999996 × 0.326292306170634 × 6371000     		do = 398.590700108229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61393954-1.61413128) × cos(-1.23848035) × R
    0.000191739999999996 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 398.518460208285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23841779)-sin(-1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326292306170634-0.32623316950853)×R²
    abs(1.61413128-1.61393954)×5.91366621042755e-05×R²
    0.000191739999999996×5.91366621042755e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.91366621042755e-05×40589641000000     		ar = 158851.803412205m²