Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24800 / 40224
↖ ↑ ↗
← S 37.857507°
W 43.769531°		 ← 482.24 m → S 37.857507°
W 43.764038°		 →
↑
482.22 m
↓
↑
482.22 m
↓
S 37.861844°
W 43.769531°		 ← 482.21 m →
232 540 m²		 S 37.861844°
W 43.764038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378425598144531 y=0.613777160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378425598144531 × 216)
    floor (0.378425598144531 × 65536)
    floor (24800.5)     		tx = 24800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613777160644531 × 216)
    floor (0.613777160644531 × 65536)
    floor (40224.5)     		ty = 40224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24800 / 40224 ti = "16/24800/40224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24800/40224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24800 ÷ 216
    24800 ÷ 65536     		x = 0.37841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40224 ÷ 216
    40224 ÷ 65536     		y = 0.61376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.714835047134277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76392243} λ = -0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.714835047134277))-π/2
    2×atan(0.489272812092751)-π/2
    2×0.455029090168557-π/2
    0.910058180337115-1.57079632675     		φ = -0.66073815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66073815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.857507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24800 KachelY 40224 -0.76392243 -0.66073815 -43.769531 -37.857507
    Oben rechts KachelX + 1 24801 KachelY 40224 -0.76382656 -0.66073815 -43.764038 -37.857507
    Unten links KachelX 24800 KachelY + 1 40225 -0.76392243 -0.66081384 -43.769531 -37.861844
    Unten rechts KachelX + 1 24801 KachelY + 1 40225 -0.76382656 -0.66081384 -43.764038 -37.861844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66073815--0.66081384) × R
    7.56899999999616e-05 × 6371000     		dl = 482.220989999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66073815--0.66081384) × R
    7.56899999999616e-05 × 6371000     		dr = 482.220989999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76392243--0.76382656) × cos(-0.66073815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789539444114464 × 6371000     		do = 482.241036397702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76392243--0.76382656) × cos(-0.66081384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789492990913684 × 6371000     		du = 482.212663350788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66073815)-sin(-0.66081384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789539444114464-0.789492990913684)×R²
    abs(-0.76382656--0.76392243)×4.64532007801166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64532007801166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64532007801166e-05×40589641000000     		ar = 232539.909061866m²